Exercice E45 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Endomorphisme de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $
Soient $ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ et $ N = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} $ deux matrices de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $, et $ \lambda \in \mathbb{R} $.
On remarque que $ a+d = \text{Tr}(M) $, la trace de la matrice. L'application peut donc s'écrire $ f(M) = M + \text{Tr}(M)I_2 $. \[ f(\lambda M + N) = (\lambda M + N) + \text{Tr}(\lambda M + N)I_2 \] Par linéarité de la trace : \[ f(\lambda M + N) = \lambda M + N + (\lambda \text{Tr}(M) + \text{Tr}(N))I_2 \] \[ f(\lambda M + N) = \lambda(M + \text{Tr}(M)I_2) + (N + \text{Tr}(N)I_2) \] \[ f(\lambda M + N) = \lambda f(M) + f(N) \] $ f $ est une application linéaire et ses valeurs sont dans $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $. C'est donc un endomorphisme de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $.

Matrice $ A $ dans la base canonique
Évaluons $ f $ sur chaque vecteur de la base canonique $ (J_1, J_2, J_3, J_4) $ :
- $ f(J_1) = J_1 + 1 \cdot I_2 = J_1 + (J_1 + J_4) = 2J_1 + J_4 $
- $ f(J_2) = J_2 + 0 \cdot I_2 = J_2 $
- $ f(J_3) = J_3 + 0 \cdot I_2 = J_3 $
- $ f(J_4) = J_4 + 1 \cdot I_2 = J_4 + (J_1 + J_4) = J_1 + 2J_4 $
En plaçant ces vecteurs images en colonnes, on obtient la matrice $ A $ : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

Automorphisme de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $
La matrice $ D $ représentant $ f $ dans la base $ \mathcal{B}' $ est diagonale et tous ses coefficients diagonaux sont non nuls ($ \det(D) = 3 \neq 0 $). La matrice $ D $ (et donc $ A $) est inversible. L'endomorphisme $ f $ est par conséquent bijectif : c'est un automorphisme de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $.