Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
On définit sur $~~\mathbb R~~$ les lois suivantes:
\[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\]
$\mathbb R$ munit de l'addition $\oplus$ et du produit externe $\odot$ est-il un espace vectoriel sur $\mathbb R$ ?~Est-il un corps ?
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Espace vectoriel sur $ \mathbb{R} $
Pour que $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ soit un espace vectoriel, l'axiome de l'Ă©lĂ©ment neutre de la loi externe doit ĂȘtre vĂ©rifiĂ© : $ 1 \odot x = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $. \[ 1 \odot x = 1 + x - (1)x = 1 \] En choisissant $ x = 0 $, on obtient $ 1 \odot 0 = 1 \neq 0 $. L'axiome n'est donc pas vĂ©rifiĂ©.
Conclusion : $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ n'est pas un espace vectoriel sur $ \mathbb{R} $. - Structure de corps
Pour que $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ soit un corps, la loi $ \odot $ doit ĂȘtre distributive par rapport Ă la loi $ \oplus $.
Vérifions la distributivité avec un contre-exemple en choisissant $ z=1, x=0 $ et $ y=0 $ :- $ 1 \odot (0 \oplus 0) = 1 \odot (0+0+1) = 1 \odot 1 = 1 + 1 - (1)(1) = 1 $
- $ (1 \odot 0) \oplus (1 \odot 0) = 1 \oplus 1 = 1 + 1 + 1 = 3 $
Conclusion : $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ n'est pas un corps.