Exercice E48 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 1

Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}~~/~~\exists b\in\mathbb R~~/~~\forall n\in\mathbb N,~~~u_{n+1}=au_n+b \right\}$$

Soit $(x_n)$ la suite constante égale à $1$ (pour tout $n$ de $\mathbb N$, $x_n = 1$) et soit $(y_n)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb N,~$ par : $~y_n = a^n$.
Montrer que ces deux suites sont dans $E_a$ (pour chacune d'elle on précisera un réel $b$ qui convient).
Soit $(u_n) \in E_a$, par définition, il existe un réel $b$ tel que pour tout $n\in\mathbb N,~ u_{n+1}=au_n+b$.
Montrer que pour $(u_n)$ donnée, ce réel $b$ est unique.
Quels sont les éléments de $E_0$ ?
Quels sont les éléments de $E_1$ ?
Montrer que $~\left(E_a~,~+~\textbf{.}\right)~$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel.
On considère l'application : \begin{align*} f:~~E_a~~~&\longrightarrow~\mathbb R^2\\ (u_n)~&\longmapsto~(u_0~,~u_1) . \end{align*}
1. Montrer que $~f~$ est linéaire et déterminer ker$(f)$.
2. En déduire que la dimension de $~E_a~$ est au plus $~2$.
1. On suppose $~a\not=1.$
  1. Montrer que $~\left((x_n)~;~(y_n)\right)~$ est une famille libre de $~E_a.$
  2. Montrer que $\dim(E_a)=2,~$ et en donner une base.
  3. Soit $~(u_n)\in E_a,~$ donner les coordonnées de~$~(u_n)~$ dans cette base.
2. On suppose $~a=1,~$ soit $~(z_n)~$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb N,$ par $~z_n=n.$
  1. Montrer que $~\left((x_n)~;~(z_n)\right)~$ est une famille libre de $~E_1.$
  2. Montrer que $\dim(E_1)=2,$ et en donner une base.
  3. Soit $~(u_n)\in E_1,~$ donner les coordonnées de $~(u_n)~$ dans cette base.

Pour la suite constante $(x_n) = 1$ s'écrit: \begin{cases} x_{n+1} &= a(x_n -1)+1\\x_0&=1 \end{cases} Ce qui équivaut à: \begin{cases} x_{n+1} &= ax_n +(1-a)\\x_0&=1 \end{cases} Elle appartient à $E_a$ avec le réel $b = 1-a$.

Pour la suite $y_n = a^n$ : \begin{cases} y_{n+1} &= ay_n \\y_0&=1 \end{cases} Elle appartient à $~E_a~$ avec le réel $~b = 0$.

Soient $b$ et $b'$ deux réels tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = au_n + b$ et $u_{n+1} = au_n + b'$.
Par soustraction, on obtient $0 = b - b'$, d'où $b = b'$.
L'unicité est établie.

Pour $a = 0$, la relation devient $u_{n+1} = b$.
$E_0$ est l'ensemble des suites constantes à partir du rang 1 (le premier terme $u_0$ est quelconque).

Pour $a = 1$, la relation devient $u_{n+1} = u_n + b$.
$E_1$ est l'ensemble des suites arithmétiques.

La suite nulle vérifie $0 = a(0) + 0$, elle appartient à $E_a$ (avec $b=0$).
Soient $(u_n), (v_n) \in E_a$ (de constantes respectives $b$ et $b'$) et $\lambda \in \mathbb{R}$.
Soit $(w_n) = \lambda(u_n) + (v_n)$. On a :
\[ w_{n+1} = \lambda u_{n+1} + v_{n+1} = \lambda(au_n + b) + (av_n + b') = a(\lambda u_n + v_n) + (\lambda b + b') \]
\[ w_{n+1} = aw_n + (\lambda b + b') \] Ainsi, $(w_n) \in E_a$.

$E_a$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles.

1. Linéarité : Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $(u_n), (v_n) \in E_a$ :
  \[ f(\lambda(u_n) + (v_n)) = (\lambda u_0 + v_0, \lambda u_1 + v_1) = \lambda(u_0, u_1) + (v_0, v_1) = \lambda f((u_n)) + f((v_n)) \]
  L'application $f$ est linéaire.
  
  Noyau : Soit $(u_n) \in \text{ker}(f)$. Alors $u_0 = 0$ et $u_1 = 0$.
  Comme $u_1 = au_0 + b$, on a $0 = a(0) + b \implies b = 0$.
  La relation de récurrence est donc: $~u_{n+1} = au_n$.
  Sachant que $~u_0 = 0$, une récurrence immédiate donne $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 0$.
  Le noyau est réduit à la suite nulle : $\text{ker}(f) = \{0_{E_a}\}$.
2. L'application linéaire $f$ est injective (noyau trivial) de $E_a$ vers $\mathbb{R}^2$.
  Par conséquent, $\dim(E_a) \le \dim(\mathbb{R}^2) = 2$.

1. Cas $a \neq 1$ :
  1. Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\forall n \in \mathbb{N}, \alpha x_n + \beta y_n = 0$.
    En évaluant en $n=0$ et $n=1$, on obtient le système :
    \[ \begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + a\beta = 0 \end{cases} \]
    Par soustraction, $\beta(a-1) = 0$.
    Comme $~a \neq 1$, on a $~\beta = 0$, puis $~\alpha = 0$.
    La famille est donc libre.
  2. La famille $((x_n), (y_n))$ est libre et contient 2 éléments dans un espace de dimension au plus 2.
    On en déduit que $\dim(E_a) = 2$ et que cette famille en est une base.
  3. Cherchons les coordonnées $(\alpha, \beta)$ telles que $u_n = \alpha x_n + \beta y_n = \alpha + \beta a^n$.
    En utilisant les termes initiaux :
    \[ \begin{cases} u_0 = \alpha + \beta \\ u_1 = \alpha + a\beta \end{cases} \implies \beta(a-1) = u_1 - u_0 \implies \beta = \frac{u_1 - u_0}{a-1} \]
    Et on en déduit $\alpha$ :
    \[ \alpha = u_0 - \beta = \frac{au_0 - u_0 - u_1 + u_0}{a-1} = \frac{au_0 - u_1}{a-1} \]
    Les coordonnées sont $\left( \frac{au_0 - u_1}{a-1}, \frac{u_1 - u_0}{a-1} \right)$.
2. Cas $a = 1$ :
  1. Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\forall n \in \mathbb{N}, \alpha x_n + \beta z_n = 0$, soit $\alpha + \beta n = 0$.
    Pour $n=0$, on obtient $\alpha = 0$. Pour $n=1$, on a $\alpha + \beta = 0 \implies \beta = 0$. La famille est libre.
  2. De même, la famille $((x_n), (z_n))$ est libre avec 2 éléments, et $\dim(E_1) \le 2$.
    Donc $\dim(E_1) = 2$ et $((x_n), (z_n))$ est une base.
  3. Cherchons les coordonnées $(\alpha, \beta)$ telles que $u_n = \alpha x_n + \beta z_n = \alpha + \beta n$.
    En $n=0$, on a $\alpha = u_0$.
    En $n=1$, on a $\alpha + \beta = u_1 \implies \beta = u_1 - u_0$.
    Les coordonnées sont $(u_0, u_1 - u_0)$.

Énoncé de l'exercice :

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