- Montrer que $\mathbb M$ est stable pour la multiplication ($\times$)
-
- Montrer que $\mathbb U$ est une partie stable pour la multiplication dans $\mathbb C$
- Montrer que $(\mathbb U,\times)$ est un sous groupe de $(\mathbb C^*,\times)$
- On considĂšre l'application:$$
f:\mathbb U \longrightarrow \mathbb M$$
$$e^{i\theta} \longmapsto M_{\theta} $$
- Montrer que $f$ est un morphisme surjectif de $(\mathbb U,\times)$ vers $(\mathbb M,\times)$
- En déduire que $(\mathbb M,\times)$ est un groupe commutatif.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Structures algébriques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $~\alpha~$ un nombre réel. on désigne par $~M_{\alpha}~$ la matrice définie comme suit:
$$M_{\alpha}=\begin{pmatrix}
\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\
\sin{\alpha}&\cos{\alpha}\\
\end{pmatrix}$$
On pose, en outre:
$$\mathbb{M}=\{M_{\alpha}:~ \alpha\in\mathbb R\}\quad\text{et}\quad \mathbb U=\{e^{i\alpha}:~ \alpha\in\mathbb R \}$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
1. Stabilité de $\mathbb{M}$ pour la multiplication
- Soient $M_{\alpha}$ et $M_{\beta}$ deux éléments de $\mathbb{M}$. Effectuons le produit : \[ \begin{align*} M_{\alpha} \times M_{\beta} &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} \end{align*} \]
- On obtient: $$M_{\alpha} \times M_{\beta} = M_{\alpha+\beta}$$ $(\alpha+\beta) \in \mathbb{R}~,~$, et donc: $~M_{\alpha+\beta} \in \mathbb{M}$. $\mathbb{M}$ est donc stable pour la multiplication.
2. Ătude de $(\mathbb{U}, \times)$
- Stabilité : Soient $e^{i\alpha}$ et $e^{i\beta}$ dans $\mathbb{U}$. Leur produit $e^{i\alpha} \times e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$ appartient à $\mathbb{U}$ car $(\alpha+\beta) \in \mathbb{R}$.
- Sous-groupe :
- $\mathbb{U} \subset \mathbb{C}^*$ et $1 = e^{i0} \in \mathbb{U}$ (non vide).
- Soient $z_1 = e^{i\alpha}$ et $z_2 = e^{i\beta}$ dans $\mathbb{U}$. \[ z_1 \times z_2^{-1} = e^{i\alpha} \times e^{-i\beta} = e^{i(\alpha-\beta)} \]
- Comme $(\alpha-\beta) \in \mathbb{R}$, alors $~z_1 \times z_2^{-1} \in \mathbb{U}$.
- $(\mathbb{U}, \times)$ est donc un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.
3. Morphisme et structure de $\mathbb{M}$
- Morphisme surjectif :
- Soient $e^{i\theta}$ et $e^{i\alpha}$ dans $\mathbb{U}$ : \[ f(e^{i\theta} \times e^{i\alpha}) = f(e^{i(\theta+\alpha)}) = M_{\theta+\alpha} \]
- Or, d'aprĂšs la question 1, $M_{\theta} \times M_{\alpha} = M_{\theta+\alpha}$. Donc $f(e^{i\theta} \times e^{i\alpha}) = f(e^{i\theta}) \times f(e^{i\alpha})$.
- Par définition de $\mathbb{M}$, tout élément $M_{\alpha}$ possÚde au moins un antécédent $e^{i\alpha}$ par $f$.
- $f$ est un morphisme surjectif.
- Structure de groupe :
- L'image d'un groupe par un morphisme surjectif est un groupe.
- $(\mathbb{U}, \times)$ est un groupe commutatif, donc son image $(\mathbb{M}, \times)$ est un groupe commutatif.