Étude du sous-espace vectoriel $E$

Soit $E = \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(-1) = 0 \text{ et } P(1) = 0\}$.

1. Montrons que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_3[X]$

   • Le polynôme nul $\mathbf{0}$ vérifie $\mathbf{0}(-1) = 0$ et $\mathbf{0}(1) = 0$.
     Donc $\mathbf{0} \in E$, ainsi $E$ n'est pas vide.
   • Soient $(P, Q) \in E^2$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.
     Posons $H = P + \lambda Q$.
   • Il est aisé de voir que :
     $H(-1) = H(-1)=0$.
   • Conclusion :
     Le polynôme $P + \lambda Q$ appartient à $E$.
     $E$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_3[X]$.

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2. Déterminons une base et la dimension de $E$

   • Soit $P \in \mathbb{R}_3[X]$.
     Puisque $-1$ et $1$ sont des racines de $P$, on peut affirmer que $P$ est divisible par $(X+1)(X-1)$
     c'est-à-dire que P(X) est divisible par $(X^2 - 1)$.
   • Comme $P$ est de degré au plus 3, il existe un polynôme $Q$ de degré au plus 1 tel que :
     $P(X) = (X^2 - 1)Q(X) = (X^2 - 1)(aX + b)$.
   • En développant, on obtient :
     $P(X) = aX(X^2 - 1) + b(X^2 - 1)$.
   • On en déduit que:
     $E = \text{Vect}(P_1, P_2)$ avec :
     $P_1 = X^3 - X$ et $P_2 = X^2 - 1$.
   • Les polynômes $P_1$ et $P_2$ n'ont pas le même degré, ils ne peuvent être liés (facile à prouver).
     La famille $(P_1, P_2)$ est donc libre.
   
   
   • Conclusion :
     La famille $(X^3 - X, X^2 - 1)$ constitue une base de $E$.
     Par conséquent, $\dim(E) = 2$.