Indépendance et dépendance linéaires d'une famille de vecteurs

On suppose que la famille $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3, e_4)$ est libre.

1. Étude de la famille $(e_1, 2e_2, e_3)$

   • Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $ae_1 + b(2e_2) + ce_3 = 0$.
     Cette égalité s'écrit aussi : $ae_1 + (2b)e_2 + ce_3 + 0e_4 = 0$.
   • Puisque la famille $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ est libre, tous les coefficients sont nuls.
     On en déduit alors que $a = 2b = c = 0$.
   • D'où l'on tire $a = b = c = 0$.
     Conclusion : La famille est donc libre.

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2. Étude de la famille $(e_1, e_3)$

   • On rappelle qu'une sous-famille d'une famille libre est elle-même libre.
     Conclusion : Comme $(e_1, e_3)$ est une famille extraite de $\mathcal{B}$, elle est libre.

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3. Étude de la famille $(e_1, 2e_1 + e_4, e_3 + e_4)$

   • Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $ae_1 + b(2e_1 + e_4) + c(e_3 + e_4) = 0$.
     En regroupant les termes selon les vecteurs de la base $\mathcal{B}$ : \[(a + 2b)e_1 + 0e_2 + ce_3 + (b + c)e_4 = 0\]
   • Puisque la famille $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ est libre, on obtient le système : \[\left\{ \begin{matrix} a + 2b = 0 \\ c = 0 \\ b + c = 0 \end{matrix} \right.\]
   • On en déduit facilement que $a = b = c = 0$.
     Conclusion : La famille est donc libre.

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4. Étude de la famille $(2e_1 + e_2, e_1 - 2e_2, e_4, 7e_1 - 4e_2)$

   • Soit $(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4$ tel que :
     $a(2e_1 + e_2) + b(e_1 - 2e_2) + ce_4 + d(7e_1 - 4e_2) = 0$.
   • On réorganise l'expression sous la forme : \[(2a + b + 7d)e_1 + (a - 2b - 4d)e_2 + 0e_3 + ce_4 = 0\]
   • Comme la famille $\mathcal{B}$ est libre, on en déduit que : \[\left\{ \begin{matrix} 2a + b + 7d = 0 \\ a - 2b - 4d = 0 \\ c = 0 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} a = -2d \\ b = -3d \\ c = 0 \end{matrix} \right.\]
   • En prenant par exemple $d = -1$, le système admet $(2, 3, 0, -1)$ comme solution non triviale.
     Conclusion : La famille est donc liée.
   • Plus précisément, on a la relation de dépendance suivante :
     $(7e_1 - 4e_2) = 2(2e_1 + e_2) + 3(e_1 - 2e_2)$.
   • Remarque :
     On peut observer que les 4 vecteurs de cette famille appartiennent au sous-espace engendré par $(e_1, e_2, e_4)$.
     Étant donné que cet espace est de dimension 3, toute famille de 4 vecteurs y est nécessairement liée.