- La division est-elle une loi de composition interne dans
- l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs ?
- Dans l'ensemble $\mathbb Q^*$ des nombres rationnels non nuls ?
- Dans l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels, on définit une loi $~\ast~$ par : $$a~\ast~b = a + b + ab$$. Cette loi est-elle une loi de composition interne dans $\mathbb R$, dans $\mathbb Z$, dans $\mathbb R\setminus\{-1\}$ ?
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Structures algébriques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
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ĂnoncĂ© de l'exercice :
Les questions sont indépendantes.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- La division n'est pas une loi de composition interne sur $~~\Bbb Z^*$.
En effet, le quotient de deux nombres relatifs n'est pas toujours un nombre relatif. - Le quotient de deux rationnels est un rationnel.
En effet:
Pour $~~x=\dfrac{a}{b}~~$ et $~~y=\dfrac{c}{d}~~$, oĂč $\left((a,c);(b,d)\right)\in(\Bbb Z^*)^2\times(\Bbb N^*)^2$, on a: \[\dfrac{x}{y}~=~\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}~=~\dfrac{ad}{bc}\in\Bbb Q^*.\] Donc, la division est une loi de composition interne dans $\Bbb Q^*$
- La division n'est pas une loi de composition interne sur $~~\Bbb Z^*$.
- $\Bbb R~$ et $~\Bbb Z~$ sont stables par addition et par multiplication, donc $~\star~$ est une loi de composition interne sur ces deux ensembles.
VĂ©rifions maintenant si c'est le cas sur $\Bbb R\setminus\{-1\}$.
Soient $~a~$ et $~b~$ deux rĂ©els diffĂ©rents de $~-1$. Supposons que $a\star b=-1$, on a donc: \[a+b+ab=-1\iff ~(a+1)(b+1)=0\] Ce qui Ă©quivaut Ă : $$a=-1\quad \text{oĂč}\quad b=-1.$$ Ce qui est impossible.
Ainsi $~~a\star b\in\Bbb R\setminus\{-1\}~,~$ ce qui prouve que $~\star~$ est bien une loi de composition interne sur $\Bbb R\setminus\{-1\}$.