Exercices Corrigés (Page 24) - Mathématiques Bac & High School

Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 21 janvier 2026

Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 22 janvier 2026

Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 22 janvier 2026

Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 22 janvier 2026

Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 22 janvier 2026

Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 22 janvier 2026

Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 22 janvier 2026

Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer que toutes les racines de $e_n$ dans $\mathbb{C}$ sont simples....

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on 22 janvier 2026

Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on 23 janvier 2026

Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on 23 janvier 2026

Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on 23 janvier 2026

Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on 23 janvier 2026

Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on 23 janvier 2026

Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on 23 janvier 2026

Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on 23 janvier 2026

MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...

Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...

Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....

Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...

Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...

Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...

Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...

Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer que toutes les racines de $e_n$ dans $\mathbb{C}$ sont simples....

Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...

Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...

Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...

Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...

Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...

Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...

Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...

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Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align*} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...

Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...

Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....

Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...

Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...

Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...

Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...

Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer que toutes les racines de $e_n$ dans $\mathbb{C}$ sont simples....

Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...

Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...

Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...

Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...

Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...

Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...

Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...