Exercice D20 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Calcul du coefficient directeur de $(AB)$
Le coefficient directeur $m$ de la droite $(AB)$ est : \[ m = \frac{0 - (-3)}{4 - 1} = 1 \]
Recherche de l'abscisse $\alpha$
La tangente est parallèle à $(AB)$ si $f'(\alpha) = 1$. Comme $f'(x) = 2x - 4$, on a : \[ 2\alpha - 4 = 1 \implies \alpha = \frac{5}{2} \]
Coordonnées du point $M$
L'ordonnée est $f(\frac{5}{2}) = -\frac{15}{4}$. Le point cherché est $M(\frac{5}{2}, -\frac{15}{4})$.

Théorème des Accroissements Finis
Comme $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, elle vérifie les hypothèses du TAF sur $[1, 4]$. Il existe $c \in ]1, 4[$ tel que $f'(c) = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$.
Cas de la parabole: $~f(x)=ax^2+bx+c$
On a:
\[f'(x)=2ax+b \qquad\text{et}\qquad \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a(x_1+x_2)+b\] Le point du TAF entre $x_1, x_2$ est donné par: \[f'(\alpha) = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] c'est-à-dire: \[2a\alpha +b=2a(x_1+x_2)+b\] Par conséquent: \[\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\] Le point du TAF est la moyenne arithmétique de $x_1,x_2$ dans le cas de la parabole.