Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$.
Considérons le polynôme suivant:
$$P(X)=X^n + aX + b$$
On se propose de montrer que ce polynome admet au plus 3 racines réelle distincts.
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Supposons par l'absurde qu'il en admet 4 racine distincts $~~x\lt y\lt z\lt t$.
- Montrer en utilisant le théoème de Rolle qu'ils existent trois réelles $~~\alpha\lt \beta\lt \gamma ~$ distincts tels que: $$P'(\alpha)=P'(\beta)=P'(\gamma)=0$$
- En appliquant Rolle encore Montrer qu'ils existent 2 réelles distincts $~e\lt f~$ tels que:$$P^{''}(e)=P^{''}(f)=0$$
- Conclure.
N.B. : Ce résultat peut être généralisé : le polynôme $P$ admet au plus trois racines réelles, qu'elles soient distinctes ou multiples (en les comptant avec leur ordre de multiplicité).