Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Dérivation et étude de fonctions
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer que toutes les racines de $e_n$ dans $\mathbb{C}$ sont simples.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- On observe que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ e_n'(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = e_{n-1}(x) \]
-
Supposons que $e_{n+1}$ possède une racine multiple $z$. Alors :
\[ e_{n+1}(z) = 0 \quad \text{et} \quad e_{n+1}'(z) = 0 \]
Comme $e_{n+1}' = e_n$, on en déduit $e_n(z) = 0$.
En utilisant la relation \[e_{n+1}(x) = e_n(x) + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\] On obtient : $~z=0$ . ce qui est absurde car $e_{n+1}(0)=1$ - Conclusion:
Toutes les racines de $e_{n+1}$ sont donc simples.