Ătudier la fonction $f$ dĂ©finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En dĂ©duire que l'Ă©quation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions rĂ©elles.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
DĂ©rivation et Ă©tude de fonctions
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Ătude de $f(x) = x^5 - 5x + 1$
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Variations
$f'(x) = 5(x^4-1)$. La dérivée s'annule en $-1$ et $1$. $f$ est croissante sur $]-\infty, -1]$, décroissante sur $[-1, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$. - Tableau de variations:
$x$ $-\infty$ $-1$ $1$ $+\infty$ $f'(x)$ + 0 - 0 + $f(x)$ $-\infty$ $5$ $-3$ $+\infty$
ThéorÚme des valeurs intermédiaires
- Sur $]-\infty, -1]$, $f$ va de $-\infty$ Ă $5$ : une solution.
- Sur $[-1, 1]$, $f$ va de $5$ Ă $-3$ : une solution.
- Sur $[1, +\infty[$, $f$ va de $-3$ Ă $+\infty$ : une solution.
Courbe représentative de $~f$
LĂ©gende:
f(x) = x^5-5x+1