Exercice : Indépendance linéaire de fonctions trigonométriques

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Méthode 1:

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Soit $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^3$.
Supposons que pour tout $~x \in \mathbb{R}$ on a : \[ \alpha \sin(x) + \beta \sin(2x) + \gamma \sin(3x) = 0 \]

Valeurs particulières de $x$:

Pour déterminer les scalaires, choisissons des valeurs de $x$ qui simplifient les expressions :

• Pour $x = \frac{\pi}{2}$ : $$\alpha - \gamma = 0 \quad (L_1) $$


• Pour $x = \frac{\pi}{4}$ : \[ \alpha\frac{\sqrt{2}}{2} + \beta + \gamma\frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \quad (L_2) \]


• Pour $x = \frac{\pi}{3}$ : $$ \alpha + \beta = 0 \quad (L_3) $$

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3. Résolution du système

D'après $(L_1)$ et $(L_3)$, nous avons : \[ \gamma = \alpha \quad \text{et} \quad \beta = -\alpha \] Injectons ces résultats dans l'équation $(L_2)$ : \[ \alpha\frac{\sqrt{2}}{2} + (-\alpha) + \alpha\frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \] \[ \alpha\sqrt{2} - \alpha = 0 \implies \alpha(\sqrt{2} - 1) = 0 \] On en déduit: $\alpha = 0$.
Par conséquent: $~\beta = \gamma = 0$.
Conclusion : Les fonctions $f$, $g$ et $h$ sont linéairement indépendantes dans $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

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Methode 2:

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En gardant les notation précédantes on a pour tout $~x\in\Bbb R$: \[ \alpha \sin(x) + \beta \sin(2x) + \gamma \sin(3x) = 0 \quad (E_1) \] On vérifie aisément que:
$$(\sin (kx) )^"=-k^2\sin(kx)$$ En dérivant deux fois l'equation (E) on obtient $$-\alpha \sin(x) - 4\beta \sin(2x) - 9\gamma \sin(3x) = 0 \quad (E_2)$$

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En faisant: $(E) + (E'')$, on obtient: \[ -3\beta \sin(2x) - 8\gamma \sin(3x) = 0 \] En substituant $~~x = \frac{\pi}{2}$ on obtient : \[ 8\gamma = 0 \implies \gamma = 0 \]

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3. Conclusion du système

En réinjectant $\gamma = 0$ dans nos équations précédentes :

• L'équation $(E)$ devient : $\alpha \sin(x) + \beta \sin(2x) = 0$.
• En $x = \frac{\pi}{2}$, on obtient $\alpha(1) + \beta(0) = 0 \implies \alpha = 0$.
• Il ne reste que $\beta \sin(2x) = 0$, ce qui impose $\beta = 0$ (en prenant $x = \frac{\pi}{4}$ par exemple).

Conclusion : Tous les coefficients sont nuls. La famille $(\sin x, \sin 2x, \sin 3x)$ est donc linéairement indépendante.