Soit $~~(a,b,c,d)\in\mathbb R^4.~~$. On définit la fonction $f_{a,b,c,d}$ comme suit:
\begin{align*}
f_{a,b,c,d}:\mathbb R &\to \mathbb R\\
x&\longmapsto (a+bx)\sin(x)+(c+dx)\cos(x)
\end{align*}
Soit: $$~~E= \left\lbrace f_{a,b,c,d}:~~(a,b,c,d)\in \mathbb R^4\right\rbrace $$
Considérons les fonctions suivantes :
\[f~:~x~\mapsto~\sin(x)\quad , \quad g~:~x~\mapsto~x\sin(x)\quad , \quad h~:~x~\mapsto~\cos(x)\quad , \quad k~:~x~\mapsto~x\cos(x).\]
Montrer que la famille $~\mathcal{B} = (f,g,h,k)~$ est une base de $~E~$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Espaces vectoriels
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Par définition, toute fonction $~f_{a,b,c,d}~$ de l'ensemble $~E~$ s'écrit comme une combinaison linéaire des fonctions $~f, g, h~$ et $~k$ :
\[f_{a,b,c,d}(x) = a \sin(x) + b x\sin(x) + c \cos(x) + d x\cos(x)\] - Cela montre que $~E = \text{Vect}(f, g, h, k)$.
La famille $~\mathcal{B} = (f, g, h, k)~$ est donc, par construction, une famille génératrice de $~~E$.
2. Montrrons que la famille $\mathcal{B}$ est libre
- Soient $~\alpha, \beta, \gamma, \delta$ dans $~\Bbb R~$ tels que pour tout $~x \in \mathbb{R}$ :
\[ (\alpha + \beta x)\sin(x) + (\gamma + \delta x)\cos(x) = 0 \] - En Ă©valuant en $x = 0$, on obtient :
\[ (\alpha + 0)\sin(0) + (\gamma + 0)\cos(0) = 0 \] Et donc: $$\gamma = 0$$ - En Ă©valuant en $x = \pi$, on obtient :
\[ (\alpha + \beta \pi)\sin(\pi) + (\gamma + \delta \pi)\cos(\pi) = 0 \] Ce qui implique: $$ -(\gamma + \delta \pi) = 0$$ on en déduit que: $$\delta = 0$$ - L'équation initiale se simplifie alors en :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad (\alpha + \beta x)\sin(x) = 0 \] - Considérons l'intervalle ouvert $I = ]0, \pi[$. Sur cet intervalle, la fonction sinus ne s'annule pas. On a donc :
\[ \forall x \in I, \quad \alpha + \beta x = 0 \] - Et donc: $$\alpha = \beta = 0$$.
3. Conclusion
- La famille $\mathcal{B}$ est libre $E$.
- Libre et Génératrice, $\mathcal{B} = (f, g, h, k)$ est donc une base de $E$.