Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
- Étude de F :
$$F = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid AM = 0 \}$$
- La matrice nulle $0_n$ vérifie:
$$A \cdot 0_n = 0_n$$
donc $0_n \in F$.
- Soient $~~(M, N) \in F^2~~$ et $~~(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$:
$$A(\lambda M + \mu N) = \lambda (AM) + \mu (AN)$$.
Comme: $AM=0$ et $AN=0$. alors:
$$A(\lambda M + \mu N) = 0$$
Donc:
$$(\lambda M + \mu N) \in F$$
Par conséquent:
$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
- Étude de G :
$G = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid AM = MA \}$.
- $A \cdot 0_n = 0_n \cdot A = 0_n~~$, donc $~~0_n \in G$.
- Soient $(M, N) \in G^2$ et $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$.
\begin{align*}
A(\lambda M + \mu N) &= \lambda AM + \mu AN\\
A(\lambda M + \mu N)&= \lambda MA + \mu NA\\
A(\lambda M + \mu N)& = (\lambda M + \mu N)A
\end{align*}
Donc:
$$(\lambda M + \mu N) \in G$$
$G$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
2. Étude du cas, A inversible
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$.
Le déterminant de $A$ est donné par:
$$\det(A) = 4 - 6 = -2 \neq 0$$
Donc $A$ est inversible.
- Détemination de F :
$$M \in F \iff AM = 0$$
En multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient:
$$A^{-1}AM = A^{-1} \cdot 0=0$$
Soit: $~~M = 0$.
Par conséquent
$$F = \{0_2\}$$
Et sa dimension est $0$ (base est vide.)
- Détermination de G :
Soit $$M = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in G$$
Si et seulement si:
$$ AM = MA$$
D'autre part:
$$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-2z & y-2t \\ -3x+4z & -3y+4t \end{pmatrix}$$
Et
$$ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-3y & -2x+4y \\ z-3t & -2z+4t \end{pmatrix}$$
Par identification, on obtient le système :
\begin{cases}
x-2z &= x-3y\\y-2t &= -2x+4y\\-3x+4z &= z-3t\\ -3y+4t &= -2z+4t \end{cases}
La première équation donne:
$$2z=3y$$
La deuxième et la troisième équation donnent:
$$x-t=z$$
Ce qui pourrai se traduire par:
\begin{cases}y =\frac{2}{3}(x-t)\\\\z=x-t\end{cases}
La matrice M dépend donc deux paramètres $x$ et $t$ et donc G serait un sous espace vectoriel de dimension 2.
En effet:
$M = \begin{pmatrix} x & \frac{2}{3}(x-t) \\ (x-t) & t \end{pmatrix} = \frac{x}{ 3} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} + \frac{-t}{2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$.
Une base de $G$ est:
$$\left( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \right)$$
Et $\dim(G) = 2$.
3. Étude pour A non inversible
Soit:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$$
Dans ce cas:
$$\det(A) = -4 - (-4) = 0$$
- Pour F :
$$AM = 0 \iff \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Ce qui équivaut à:
\begin{cases} x+2z = 0 \\ y+2t = 0 \end{cases}
Soit:
$$M = \begin{pmatrix} -2z & -2t \\ z & t \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Une base de $F$ est : $~~\left( \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)$
Et: $~~\dim(F) = 2$.
- Concernant G :
L'égalité $AM = MA$ mène au système :
\[ \begin{cases} x+2z = x-2y \implies z = -y \\ y+2t = 2x-4y \implies 2x - 5y - 2t = 0 \\ -2x-4z = z-2t \implies -2x - 5z + 2t = 0 \\ -2y-4t = 2z-4t \implies z = -y \end{cases} \]
Le système se réduit:
\begin{cases}
z = -y\\\\x = \frac{5}{2}y + t
\end{cases}
On a donc:
$$M = \begin{pmatrix} \frac{5}{2}y+t & y \\ -y & t \end{pmatrix} = \frac{y}{2} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Base de $G$ : $~~\left( \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, I_2 \right)$
$\dim(G) = 2$.