1. Montrons cette Identité algébrique:
DĂ©veloppons le membre de droite :
\[
\begin{aligned}
(a^2-1)(b^2-1)+1 &= a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1 + 1 \\
&= a^2b^2 - a^2 - b^2 + 2
\end{aligned}
\]
L'égalité est donc bien vérifiée pour tout $(a,b) \in I^2$.
2. Loi de composition interne
Soient $a \in I$ et $b \in I$. Par définition, $a > 1$ et $b > 1$.
- On a $a^2 > 1$ et $b^2 > 1$, d'oĂč $(a^2-1) > 0$ et $(b^2-1) > 0$.
- Par produit, $(a^2-1)(b^2-1) > 0$.
- En ajoutant 1, $(a^2-1)(b^2-1) + 1 > 1$.
- La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, on a :
\[ a \ast b = \sqrt{(a^2-1)(b^2-1) + 1} > \sqrt{1} = 1 \]
On voit que: $a \ast b \in I$.
La loi $\ast$ est donc une
loi de composition interne dans $I$.
3. Ătude de l'isomorphisme
bijectiion:
L'application $\varphi$ est la composée de deux fonctions strictement croissantes ($x \mapsto x+1$ et $u \mapsto \sqrt{u}$).
Elle est donc strictement croissante et continue et on a:
- $\lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = 1$
- $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) = +\infty$.
Ainsi, $\varphi$ Ă©tablit une bijection de $\mathbb{R}^*_+$ vers $]1, +\infty[ = I$.
Morphisme :
Soient $x, y \in \mathbb{R}^*_+$.
Comparons $\varphi(xy)$ et $\varphi(x) \ast \varphi(y)$ :
\[ \varphi(x) \ast \varphi(y) = \sqrt{\varphi(x)^2\varphi(y)^2 - \varphi(x)^2 - \varphi(y)^2 + 2} \]
En utilisant la forme factorisée établie à la question 1 :
\[ \varphi(x) \ast \varphi(y) = \sqrt{(\varphi(x)^2-1)(\varphi(y)^2-1) + 1} \]
Comme $\varphi(x)^2 = x+1$, on a $\varphi(x)^2-1 = x$. D'oĂč :
\[ \varphi(x) \ast \varphi(y) = \sqrt{xy + 1} = \varphi(xy) \]
$\varphi$ est donc un isomorphisme de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ vers $(I, \ast)$.
b) Structure de $(I, \ast)$:
Puisque $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ est un groupe commutatif (sous-groupe de $(\mathbb{R}^*, \times)$) et que $\varphi$ est un isomorphisme, alors par transport de structure, $(I, \ast)$ est un groupe commutatif.
- L'élément neutre est $e = \varphi(1) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
- Le symétrique de $a \in I$ pour la loi $\ast$ est $a' = \varphi((\varphi^{-1}(a))^{-1}) = \sqrt{\frac{1}{a^2-1} + 1}$.
c) Sous-groupe $\Gamma$
Remarquons que $\Gamma = \{ \varphi(2^m) \mid m \in \mathbb{Z} \}$.
Or, l'ensemble $H = \{ 2^m \mid m \in \mathbb{Z} \}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*_+, \times)$ (il s'agit du groupe engendré par 2).
Comme $\Gamma$ est l'image directe du sous-groupe $H$ par l'isomorphisme $\varphi$, $\Gamma$ est un sous-groupe de $(I, \ast)$.