Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
On considÚre la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
$$F(x) = \int_x^{x+\sqrt{x}} \frac{dt}{t^2 \sqrt{1+t^2}}$$
En utilisant le théorÚme de la moyenne, calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} F(x)$ et $\lim_{x \to 0^+} F(x)$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^2 \sqrt{1+t^2}}$ est continue sur $]0; +\infty[$.
D'aprÚs le théorÚme de la moyenne, pour tout $x > 0$, il existe $c\in [x; x+\sqrt{x}]$ tel que : \[F(x) = \frac{\sqrt{x}}{c^2 \sqrt{1+c^2}}\]
-
Limite en $+\infty$ :
Puisque $x \le c$, on obtient la majoration : \[0 \le F(x) \le \frac{\sqrt{x}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\] Or, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2 \sqrt{1+x^2}} = 0$. Par le théorÚme des gendarmes : \[\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0\] -
Limite en $0^+$ :
Au voisinage de $0^+$ (pour $0 < x < 1$), on a $x < \sqrt{x}$, d'oĂč $x + \sqrt{x} < 2\sqrt{x}$.
Puisque $ \le x + \sqrt{x}$, on a $ < 2\sqrt{x}$.
La fonction $t \mapsto t^2\sqrt{1+t^2}$ étant strictement croissante sur $]0; +\infty[$, on obtient la minoration : \[F(x) \ge \frac{\sqrt{x}}{(2\sqrt{x})^2 \sqrt{1+(2\sqrt{x})^2}}\] \[F(x) \ge \frac{\sqrt{x}}{4x \sqrt{1+4x}} = \frac{1}{4\sqrt{x} \sqrt{1+4x}}\] Or, $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4\sqrt{x} \sqrt{1+4x}} = +\infty$. Par comparaison, on en déduit : \[\lim_{x \to 0^+} F(x) = +\infty\]