Exercices Corrigés (Page 36) - Mathématiques Bac & High School

Exercice A79

On considère l'équation : \[ 5x^2-7y^2=3 \] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Écrire cette équation modulo 3 et en déduire qu'elle n'admet pas de solution. Écrire encore la même équation ...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A80

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels quelconques. On pose : $N=mn(m^{60}-n^{60})$ Décomposer $56786730$ en produit de facteurs premiers Prouver que $N$ est divisible par $56786730$ ...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A81

Soit $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs. On se propose de chercher le plus petit nombre premier $p$ qui s'écrit sous la forme : \[ p=\dfrac{m^3+n^3}{89}\qquad (E_1) \] Montrer que l'on...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A82

On considère le nombre $S$ suivant : \[ S=\sum\limits_{k=1}^{2022}{\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}} \] Notre objectif est de calculer $S$ Soit $a$ et $b$ des entiers naturels. Montrer ...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A83

Soit $a,b,c$ trois entiers relatifs tels que : \[ a^3+b^3+c^3=0\pmod 7 \] Montrer que $abc=0\pmod 7$ Indication : On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. ...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A84

Soit $n\in \mathbb{N}$ Étudier suivant les valeurs de $n$ le reste de la division euclidienne de $3^n$ par $11$ Déterminer $x$ pour que : \[ 3^{183}+\overline{51x4}_{10}=0\pmod{11} \] ...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A85

Soit $(p,n)\in\mathbb{N}^2$ où $p$ est un nombre premier et tels que $~n>p$. On désigne par $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du nombre réel $x$. Le but du problème est de calculer la plus grande...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A85

Soit $x,y,z$ trois entiers relatifs vérifiant : \[ xy+xz+yz=1 \] Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe suivant : $(x+i)(y+i)(z+i)$ En déduire que le nombre : \[ (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A86

Soit $p$ un nombre premier. Résoudre $x^2=1\pmod p$ Montrer que $2\times 3\times \cdots \times (p-2)=1\pmod p$ En déduire que $(p-1)!=-1\pmod p$ Montrer que la réciproque est aussi vraie, c'est-...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A87

Soit : $a_n=(n!)^2+1$ où $n\in\mathbb{N}^* : n\geq 2$ Montrer que $a_n$ est impair. Montrer que $a_n$ admet un diviseur premier $p>n$ En supposant que $p=4k+3$, montrer que : $a_n$ divise $((n!)^...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A88

Exercice Soit $(p,q)\in \mathbb{Z}^2$ tel que : $p\land q=1$. Montrer que pour tout $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$, le système : \[ (S)\begin{cases} x=a\pmod p \\ x=b\pmod q \end{cases} \] admet au mo...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A89

On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(D) : 7x^3-13y=5$ Soit $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(D)$. Montrer que $x$ et $13$ sont premiers ent...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A90

Examen National 2020 Session de Rattrapage Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : \[p\lt q \quad \text{et} \quad 9^{p+q-1}\equiv 1\pmod{pq}\] Montrer que $p$ et $9$ sont premier...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A91

Examen National 2021 Session Normale Partie I : On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E) : 47x-43y=1$ Vérifier que le couple $(11,12)$ est une solution particulière de l'équ...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

Exercice A92

Examen National 2021 Session de Rattrapage Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit: \[A=1+a+a^2+\cdots+a^6\] Soit $p$ un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$ Mon...

Arithmétique Solution Posted by admin on 30 mars 2026

MathématiquesDu Bac aux Prépas

Filtrer par chapitre

Exercice A79

On considère l'équation : \[ 5x^2-7y^2=3 \] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Écrire cette équation modulo 3 et en déduire qu'elle n'admet pas de solution. Écrire encore la même équation ...

Exercice A80

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels quelconques. On pose : $N=mn(m^{60}-n^{60})$ Décomposer $56786730$ en produit de facteurs premiers Prouver que $N$ est divisible par $56786730$ ...

Exercice A81

Soit $m$ et $n$ deux entiers strictement positifs. On se propose de chercher le plus petit nombre premier $p$ qui s'écrit sous la forme : \[ p=\dfrac{m^3+n^3}{89}\qquad (E_1) \] Montrer que l'on...

Exercice A82

On considère le nombre $S$ suivant : \[ S=\sum\limits_{k=1}^{2022}{\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}} \] Notre objectif est de calculer $S$ Soit $a$ et $b$ des entiers naturels. Montrer ...

Exercice A83

Soit $a,b,c$ trois entiers relatifs tels que : \[ a^3+b^3+c^3=0\pmod 7 \] Montrer que $abc=0\pmod 7$ Indication : On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. ...

Exercice A84

Soit $n\in \mathbb{N}$ Étudier suivant les valeurs de $n$ le reste de la division euclidienne de $3^n$ par $11$ Déterminer $x$ pour que : \[ 3^{183}+\overline{51x4}_{10}=0\pmod{11} \] ...

Exercice A85

Soit $(p,n)\in\mathbb{N}^2$ où $p$ est un nombre premier et tels que $~n>p$. On désigne par $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du nombre réel $x$. Le but du problème est de calculer la plus grande...

Exercice A85

Soit $x,y,z$ trois entiers relatifs vérifiant : \[ xy+xz+yz=1 \] Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe suivant : $(x+i)(y+i)(z+i)$ En déduire que le nombre : \[ (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1...

Exercice A86

Soit $p$ un nombre premier. Résoudre $x^2=1\pmod p$ Montrer que $2\times 3\times \cdots \times (p-2)=1\pmod p$ En déduire que $(p-1)!=-1\pmod p$ Montrer que la réciproque est aussi vraie, c'est-...

Exercice A87

Soit : $a_n=(n!)^2+1$ où $n\in\mathbb{N}^* : n\geq 2$ Montrer que $a_n$ est impair. Montrer que $a_n$ admet un diviseur premier $p>n$ En supposant que $p=4k+3$, montrer que : $a_n$ divise $((n!)^...

Exercice A88

Exercice Soit $(p,q)\in \mathbb{Z}^2$ tel que : $p\land q=1$. Montrer que pour tout $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$, le système : \[ (S)\begin{cases} x=a\pmod p \\ x=b\pmod q \end{cases} \] admet au mo...

Exercice A89

On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(D) : 7x^3-13y=5$ Soit $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(D)$. Montrer que $x$ et $13$ sont premiers ent...

Exercice A90

Examen National 2020 Session de Rattrapage Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : \[p\lt q \quad \text{et} \quad 9^{p+q-1}\equiv 1\pmod{pq}\] Montrer que $p$ et $9$ sont premier...

Exercice A91

Examen National 2021 Session Normale Partie I : On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E) : 47x-43y=1$ Vérifier que le couple $(11,12)$ est une solution particulière de l'équ...

Exercice A92

Examen National 2021 Session de Rattrapage Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit: \[A=1+a+a^2+\cdots+a^6\] Soit $p$ un nombre premier impair tel que : $p$ divise $A$ Mon...