Exercice N62 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Examen National Session de rattrapage 2021

$m$ est un nombre complexe différent de $2$ et de $-i$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ : \[ (E):\quad z^2-(m-i)z-im=0 \]

1. Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $(m+i)^2$
2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de $(E)$.
3. Sachant que $m=e^{i\frac{\pi}{8}}$ écrire le nombre $z_1+z_2$ sous forme exponentielle.
On considère les points $A, B$ et $M$ d'affixes respectifs $2, -i$ et $m$ et soit $M'$ le symétrique de $M$ par rapport à l'axe imaginaire.
1. Déterminer en fonction de $m$ l'affixe de $M'$
2. Déterminer en fonction de $m$ l'affixe de $N$ tel que le quadrilatère $ANM'B$ soit un parallélogramme.
3. Montrer que les deux droites $(AM)$ et $(BM')$ sont perpendiculaires si et seulement si $\Re e((2-i)m)=\Re e(m^2)$

Examen National Session de Rattrapage 2021 (Maroc):

1. Le discriminant $\Delta$ est donné par : \[ \begin{aligned} \Delta &= (m-i)^2+4im=m^2-2im+i^2+4im \\ \Delta &= m^2+2im+i^2 \end{aligned} \] Soit : $\Delta=(m+i)^2$.
2. Les solutions $z_1$ et $z_2$ sont données par :
  \[ z_1=\frac{(m-i)-(m+i)}{2} \quad \text{et} \quad z_2=\frac{(m-i)+(m+i)}{2} \] Soit : $z_1=-i \quad \text{et} \quad z_2=m$.
  
  Remarque : On peut calculer les racines sans recours au discriminant. D'après les propriétés des équations quadratiques on a : \[ \begin{cases} z_1+z_2=m-i=m+(-i) \\ z_1z_2=-im=(-i)m \end{cases} \implies \begin{cases} z_1=-i \\ z_2=m \end{cases} \]
3. On a : \[ \begin{aligned} z_1+z_2 &= m-i=e^{i\frac{\pi}{8}}-i \\ z_1+z_2 &= e^{i\frac{\pi}{8}}+e^{-i\frac{\pi}{2}} \\ z_1+z_2 &= e^{-i\frac{3\pi}{16}}(e^{i(\frac{\pi}{8}+\frac{3\pi}{16})}+e^{i(-\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{16})}) \quad \text{(factorisation par l'angle moitié)} \\ z_1+z_2 &= e^{-i\frac{3\pi}{16}}(e^{i\frac{5\pi}{16}}+e^{-i\frac{5\pi}{16}}) \end{aligned} \] Soit : $z_1+z_2=2\cos(\frac{5\pi}{16})e^{-i\frac{3\pi}{16}}$.
  Ceci représente bien la forme trigonométrique de $(z_1+z_2)$ car $0<\frac{5\pi}{16}<\frac{\pi}{2}$ et donc $2\cos(\frac{5\pi}{16})>0$.
1. L'affixe $ m' $ de $ M' $ est donné par : $m'=-\overline{m}$.
2. Soit $n$ l'affixe de $N$.
  $ ANM'B $ définit un parallélogramme si et seulement si : \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BM'} \] Et donc : \[ (n-2) = (m'-(-i)) \] \[ n-2 = m'+i \] Soit : $n=m'+i+2$.
3. $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM'}$ sont perpendiculaires si et seulement si : \[ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM'}=0 \] Soit en écriture complexe : \[ \frac{1}{2}\Re\text{e}[(m-2)\overline{(m'+i)}]=0 \] \[ \begin{aligned} (m-2)\overline{(m'+i)} &= (m-2)\overline{(-\overline{m}+i)} \\ (m-2)\overline{(m'+i)} &= (m-2)(-m-i) \\ (m-2)\overline{(m'+i)} &= -(m^2-(2-i)m-2i) \end{aligned} \] Donc :
  $ \Re\text{e}[(m-2)\overline{(m'+i)}]=0 \implies \Re\text{e}(m^2)-\Re\text{e}[(2-i)m]-\Re\text{e}(2i)=0 $
  Par la suite : \[ \Re\text{e}(m^2)-\Re\text{e}[(2-i)m]=0 \quad \text{(car } \Re\text{e}(2i)=0 \text{)} \] Soit : $\Re\text{e}(m^2)=\Re\text{e}[(2-i)m]$.

Énoncé de l'exercice :

Examen National Session de rattrapage 2021

Examen National Session de Rattrapage 2021 (Maroc):

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