Exercice INT 95 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $u_n = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \,dt$

Étudier les variations de la fonction $\varphi$ définie sur $[0; 2]$ par : $\varphi(t) = \frac{2t+3}{t+2}$
En déduire que : $(\forall t \in [0; 2]) \quad \frac{3}{2} \le \varphi(t) \le \frac{7}{4}$
1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
  $$\frac{3}{2} n \left(e^{\frac{2}{n}}-1\right) \le u_n \le \frac{7}{4} n \left(e^{\frac{2}{n}}-1\right)$$
2. Montrer que si la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ converge alors sa limite $\ell$ vérifie : $3 \le \ell \le \frac{7}{2}$
1. Vérifier que : $(\forall t \in [0; 2]) \quad \frac{2t+3}{t+2} = 2 - \frac{1}{t+2}$
  et en déduire la valeur de : $I = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} \,dt$
2. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad I \le u_n \le e^{\frac{2}{n}} I$
3. En déduire que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en précisant sa limite.

La fonction $\varphi$ est dérivable sur $[0; 2]$ en tant que fonction rationnelle bien définie sur cet intervalle.
Pour tout $t \in [0; 2]$ : \[ \varphi'(t) = \frac{2(t+2) - 1(2t+3)}{(t+2)^2} = \frac{2t+4-2t-3}{(t+2)^2} = \frac{1}{(t+2)^2} \] Comme $\varphi'(t) > 0$, la fonction $\varphi$ est strictement croissante sur $[0; 2]$.

D'après le tableau de variations, pour tout $t \in [0; 2]$ : \[ \varphi(0) \le \varphi(t) \le \varphi(2) \implies \frac{3}{2} \le \varphi(t) \le \frac{7}{4} \]

1. Pour tout $t \in [0; 2]$, on a : \[\frac{3}{2} \le \frac{2t+3}{t+2} \le \frac{7}{4}\] En multipliant par $e^{\frac{t}{n}} > 0$ : \[ \frac{3}{2} e^{\frac{t}{n}} \le \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \le \frac{7}{4} e^{\frac{t}{n}} \] En intégrant l'inégalité sur $[0; 2]$ : \[ \frac{3}{2} \int_0^2 e^{\frac{t}{n}} \,dt \le u_n \le \frac{7}{4} \int_0^2 e^{\frac{t}{n}} \,dt \] Or: \[\int_0^2 e^{\frac{t}{n}} \,dt = \left[ n e^{\frac{t}{n}} \right]_0^2 = n \left(e^{\frac{2}{n}} - 1\right)\] D'où : \[ \frac{3}{2} n \left(e^{\frac{2}{n}} - 1\right) \le u_n \le \frac{7}{4} n \left(e^{\frac{2}{n}} - 1\right) \]
2. On a: \[\lim_{n \to +\infty} n \left(e^{\frac{2}{n}} - 1\right) = \lim_{n \to +\infty} 2 \frac{e^{\frac{2}{n}} - 1}{\frac{2}{n}}\] posons: $X = \frac{2}{n}$
  Si $~n \to +\infty~$, alors $~X \to 0$.
  On sait que $\lim_{X \to 0} \frac{e^X - 1}{X} = 1$
  Donc : \[ \lim_{n \to +\infty} n \left(e^{\frac{2}{n}} - 1\right) = 2 \times 1 = 2 \] Par passage à la limite dans l'encadrement précédent, si $(u_n)_{n \ge 1}$ converge vers $\ell$ : \[ \frac{3}{2} \times 2 \le \ell \le \frac{7}{4} \times 2 \implies 3 \le \ell \le \frac{7}{2} \]

1. Pour tout $t \in [0; 2]$ : \[ 2 - \frac{1}{t+2} = \frac{2(t+2) - 1}{t+2} = \frac{2t+3}{t+2} \] Calcul de l'intégrale $I$ : \[ I = \int_0^2 \left( 2 - \frac{1}{t+2} \right) \,dt = \left[ 2t - \ln(t+2) \right]_0^2 \] \[ I = (4 - \ln 4) - (0 - \ln 2) = 4 - 2\ln 2 + \ln 2 = 4 - \ln 2 \]
2. Pour tout $t \in [0; 2]$, on a: \[0 \le \frac{t}{n} \le \frac{2}{n}\] La fonction exponentielle étant croissante : \[ e^0 \le e^{\frac{t}{n}} \le e^{\frac{2}{n}} \implies 1 \le e^{\frac{t}{n}} \le e^{\frac{2}{n}} \] En multipliant par $\frac{2t+3}{t+2} > 0$ : \[ \frac{2t+3}{t+2} \le \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \le \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{2}{n}} \] Par intégration sur $[0; 2]$ : \[ \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} \,dt \le \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \,dt \le \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{2}{n}} \,dt \] \[ I \le u_n \le e^{\frac{2}{n}} I \]
3. On a $\lim\limits_{n \to +\infty} e^{\frac{2}{n}} I = e^0 I = I$.
  D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = I = 4 - \ln 2 \]