- Montrer que : $J+2I = K$
- Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0;1]$ par : $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+2})$
- Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in [0;1]$.
- En déduire la valeur de l'intégrale $I$.
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- En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, montrer que : $K = \sqrt{3} - J$
- En déduire les valeurs de $J$ et $K$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
On considÚre les intégrales :
$$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} \quad ; \quad J = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \quad ; \quad K = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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1. DĂ©monstration de la relation $J + 2I = K$
- Par linéarité de l'intégrale, on additionne les expressions de $J$ et $2I$ : \[ J + 2I = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx + 2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \] \[ J + 2I = \int_0^1 \frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \]
- En simplifiant l'intégrande sachant que ( $ x^2+2 > 0$) : \[ J + 2I = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx \] \[ J + 2I = K \]
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2. Ătude de la fonction $f$ et calcul de $I$
- Calcul de $f'(x)$ :
La fonction $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+2})$ est dérivable sur $[0;1]$. En utilisant la formule de composition $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ : \[ f'(x) = \frac{1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}} \] \[ f'(x) = \frac{\frac{\sqrt{x^2+2} + x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}} \]
En simplifiant par le facteur commun $(x+\sqrt{x^2+2})$ : \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+2}} \] - DĂ©duction de la valeur de $I$ :
L'intégrande de $I$ correspond exactement à $f'(x)$. On peut donc intégrer directement : \[ I = \int_0^1 f'(x) \,dx = \left[ f(x) \right]_0^1 \] \[ I = f(1) - f(0) = \ln(1+\sqrt{1^2+2}) - \ln(0+\sqrt{0^2+2}) \] \[ I = \ln(1+\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{2}) \] \[ I = \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]
- Calcul de $f'(x)$ :
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3. Calcul de $K$ et $J$ par intégration par parties
- Relation entre $K$ et $J$ :
Calculons $K$ par intégration par parties (une seule itération suffit ici pour faire le lien direct) : \[ K = \int_0^1 1 \cdot \sqrt{x^2+2} \,dx = \int_0^1 (x)' \sqrt{x^2+2} \,dx \] \[ K = \left[ x\sqrt{x^2+2} \right]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} \,dx \] \[ K = \left( 1\sqrt{3} - 0 \right) - \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \]
On reconnaßt l'expression exacte de $J$ dans la derniÚre intégrale : \[ K = \sqrt{3} - J \] - Déduction des valeurs de $J$ et $K$ :
Nous disposons du systÚme formé par les questions précédentes : \[ \begin{cases} K = J + 2I \\ K = \sqrt{3} - J \end{cases} \]
En Ă©galisant les deux expressions de $K$ : \[ J + 2I = \sqrt{3} - J \implies 2J = \sqrt{3} - 2I \implies J = \frac{\sqrt{3}}{2} - I \]
En remplaçant $I$ par sa valeur calculée précédemment : \[ J = \frac{\sqrt{3}}{2} - \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]
Enfin, pour déterminer $K$, utilisons l'équation $K = \sqrt{3} - J$ : \[ K = \sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \right) \] \[ K = \frac{\sqrt{3}}{2} + \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]
- Relation entre $K$ et $J$ :