Exercices Corrigés (Page 29) - Mathématiques Bac & High School

Exercice INT 19

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^*_+)$ $$\frac{1}{t(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$$ Calculer l'intégrale : $I = \int_0^{\ln 2} \frac{dx}{(e^x+1)^2}$ E...

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Exercice INT 20

En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_0^1 (x+a)e^x \,dx = e$$...

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Exercice INT 21

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^1 (1+e^x)\ln(x+e^x) \,dx$ $J = \int_0^{\frac{pi}{2}} e^{2x} \sin(e^x) \,dx$ ; $K = \int_0^{\...

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Exercice INT 22

On pose : $(\forall x \in ]0;1[) \quad I(x) = \int_x^1 t \, \text{Arctan}\left(\frac{1}{t}\right) \,dt$ En utilisant la formule d'intégration par parties, exprimer $I(x)$ en fonction de $x$. ...

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Exercice INT 23

Exercice 23 En utilisant un changement de variable approprié ou des transformations algébriques, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_2^3 \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}$ $B = \int_0...

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Exercice INT 24

Exercice 24 En utilisant la technique de changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \,dx$ $I_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}...

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Exercice INT 25

Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $t \neq -1$ : $$\frac{t}{(t+1)^2} = \frac{\alpha}{t+1} + \frac{\beta}{(t+1)^2}$$ En utilisant une intégration par changement de va...

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Exercice INT 26

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}) \quad \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$ Calculer l'intégrale : $I = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{1+t} \,dt$ En posant $t...

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Exercice INT 27

Par un changement de variable approprié, calculer l'intégrale : \[I = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{7}{2}} \frac{dx}{4x^2+4x+5}\]...

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Exercice INT 28

Montrer que : $$\int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$...

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Exercice INT 29

Pour tout $x \in ]-1; 0[$, on pose : $F(x) = \int_{\frac{1}{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{1+t}}$ Calculer $F(x)$ en fonction de $x$. Calculer $\lim_{x \to 0^-} F(x)$ et $\lim_{x \to -1^+} F(x)$. ...

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Exercice INT 30

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\ln 3} \sqrt{e^x-1} \,dx$ ; $J = \int_{-3}^0 \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} \,dx$ $K = \int_0^{...

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Exercice INT 31

Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, on pose : $f(x) = \int_0^x \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}} \,dt$ Calculer la dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $\varphi : x \mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ...

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Exercice INT 32

Pour tout $a \in \mathbb{R}^_+$ et $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...

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Exercice INT 33

Énoncé de l'exercice On considère l'intégrale $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx$. ...

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MathématiquesDu Bac aux Prépas

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Exercice INT 19

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^*_+)$ $$\frac{1}{t(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$$ Calculer l'intégrale : $I = \int_0^{\ln 2} \frac{dx}{(e^x+1)^2}$ E...

Exercice INT 20

En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_0^1 (x+a)e^x \,dx = e$$...

Exercice INT 21

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^1 (1+e^x)\ln(x+e^x) \,dx$ $J = \int_0^{\frac{pi}{2}} e^{2x} \sin(e^x) \,dx$ ; $K = \int_0^{\...

Exercice INT 22

On pose : $(\forall x \in ]0;1[) \quad I(x) = \int_x^1 t \, \text{Arctan}\left(\frac{1}{t}\right) \,dt$ En utilisant la formule d'intégration par parties, exprimer $I(x)$ en fonction de $x$. ...

Exercice INT 23

Exercice 23 En utilisant un changement de variable approprié ou des transformations algébriques, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_2^3 \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}$ $B = \int_0...

Exercice INT 24

Exercice 24 En utilisant la technique de changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \,dx$ $I_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}...

Exercice INT 25

Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $t \neq -1$ : $$\frac{t}{(t+1)^2} = \frac{\alpha}{t+1} + \frac{\beta}{(t+1)^2}$$ En utilisant une intégration par changement de va...

Exercice INT 26

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}) \quad \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$ Calculer l'intégrale : $I = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{1+t} \,dt$ En posant $t...

Exercice INT 27

Par un changement de variable approprié, calculer l'intégrale : \[I = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{7}{2}} \frac{dx}{4x^2+4x+5}\]...

Exercice INT 28

Montrer que : $$\int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$...

Exercice INT 29

Pour tout $x \in ]-1; 0[$, on pose : $F(x) = \int_{\frac{1}{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{1+t}}$ Calculer $F(x)$ en fonction de $x$. Calculer $\lim_{x \to 0^-} F(x)$ et $\lim_{x \to -1^+} F(x)$. ...

Exercice INT 30

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\ln 3} \sqrt{e^x-1} \,dx$ ; $J = \int_{-3}^0 \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} \,dx$ $K = \int_0^{...

Exercice INT 31

Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, on pose : $f(x) = \int_0^x \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}} \,dt$ Calculer la dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $\varphi : x \mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ...

Exercice INT 32

Pour tout $a \in \mathbb{R}^_+$ et $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...

Exercice INT 33

Énoncé de l'exercice On considère l'intégrale $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx$. ...

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Exercice INT 19

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^*_+)$ $$\frac{1}{t(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$$ Calculer l'intégrale : $I = \int_0^{\ln 2} \frac{dx}{(e^x+1)^2}$ E...

Exercice INT 20

En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_0^1 (x+a)e^x \,dx = e$$...

Exercice INT 21

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^1 (1+e^x)\ln(x+e^x) \,dx$ $J = \int_0^{\frac{pi}{2}} e^{2x} \sin(e^x) \,dx$ ; $K = \int_0^{\...

Exercice INT 22

On pose : $(\forall x \in ]0;1[) \quad I(x) = \int_x^1 t \, \text{Arctan}\left(\frac{1}{t}\right) \,dt$ En utilisant la formule d'intégration par parties, exprimer $I(x)$ en fonction de $x$. ...

Exercice INT 23

Exercice 23 En utilisant un changement de variable approprié ou des transformations algébriques, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_2^3 \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}$ $B = \int_0...

Exercice INT 24

Exercice 24 En utilisant la technique de changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \,dx$ $I_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}...

Exercice INT 25

Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $t \neq -1$ : $$\frac{t}{(t+1)^2} = \frac{\alpha}{t+1} + \frac{\beta}{(t+1)^2}$$ En utilisant une intégration par changement de va...

Exercice INT 26

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}) \quad \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$ Calculer l'intégrale : $I = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{1+t} \,dt$ En posant $t...

Exercice INT 27

Par un changement de variable approprié, calculer l'intégrale : \[I = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{7}{2}} \frac{dx}{4x^2+4x+5}\]...

Exercice INT 28

Montrer que : $$\int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$...

Exercice INT 29

Pour tout $x \in ]-1; 0[$, on pose : $F(x) = \int_{\frac{1}{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{1+t}}$ Calculer $F(x)$ en fonction de $x$. Calculer $\lim_{x \to 0^-} F(x)$ et $\lim_{x \to -1^+} F(x)$. ...

Exercice INT 30

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\ln 3} \sqrt{e^x-1} \,dx$ ; $J = \int_{-3}^0 \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} \,dx$ $K = \int_0^{...

Exercice INT 31

Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, on pose : $f(x) = \int_0^x \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}} \,dt$ Calculer la dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $\varphi : x \mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ...

Exercice INT 32

Pour tout $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...

Exercice INT 33

Énoncé de l'exercice On considère l'intégrale $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx$. ...

Pour tout $a \in \mathbb{R}^_+$ et $n \in \mathbb{N}^$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...