- Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^4 x} \,dx\]
- En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sin x}{\cos^4 x} \,dx\]
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Calcul de l'intégrale $I$ par changement de variable
- On commence par réécrire l'intégrande pour faire apparaßtre la différentielle de la fonction tangente : \[ \frac{1}{\cos^4 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = (1 + \tan^2 x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \]
- On pose le changement de variable $t = \tan x$.
On obtient alors $dt = \frac{1}{\cos^2 x} \,dx$. - On détermine les nouvelles bornes d'intégration :
- Pour $ x = 0 $, $t = \tan(0) = 0$.
- Pour $ x = \frac{\pi}{4} $, $t = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
- En substituant dans l'intégrale, le calcul devient trÚs simple : \[ \begin{align*} I &= \int_0^1 (1 + t^2) \,dt \\ &= \left[ t + \frac{t^3}{3} \right]_0^1 \end{align*} \]
- On Ă©value l'expression aux bornes pour conclure : \[ I = \left( 1 + \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{4}{3} \]
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Calcul de l'intégrale $J$
- On cherche donc Ă calculer $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sin x}{\cos^5 x} \,dx$.
- On effectue une intégration par parties en posant :
- $ u(x) = x \implies u'(x) = 1 $
- $ v'(x) = \frac{\sin x}{\cos^5 x} = \sin x(\cos x)^{-5} \implies v(x) = \frac{1}{4\cos^4 x} $
- En appliquant la formule d'intégration par parties, l'intégrale $I$ apparaßt : \[ \begin{align*} J &= \left[ \frac{x}{4\cos^4 x} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \cdot \frac{1}{4\cos^4 x} \,dx \\ &= \left[ \frac{x}{4\cos^4 x} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{4}I \end{align*} \]
- On Ă©value le crochet:
- $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies\cos^4\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$.
- La borne supérieure donne $ \frac{\frac{\pi}{4}}{4 \times \frac{1}{4}} = \frac{\pi}{4} $
- la borne inférieure est nulle car multipliée par $0$
- En remplaçant $I$ par sa valeur, on obtient le résultat final : \[ J = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \] Soit: \[J= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3} \]