- Soit $m \in \mathbb{R}^*_+$. On considĂšre :
\[I(m) = \int_{-m}^m e^{-2|x|} \,dx\]
- Calculer $~I(m)$ en fonction de $m$
- Calculer $~\lim\limits_{m\to +\infty}{I(m)}$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Calcul de l'intégrale $I(m)$ et de sa limite
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- Calcul de $I(m)$ en fonction de $m$ :
On considÚre l'intégrale $I(m) = \int_{-m}^m e^{-2|x|} \,dx$ avec $m \in \mathbb{R}^*_+$.
La fonction $x \mapsto e^{-2|x|}$ étant paire et l'intervalle $[-m, m]$ étant symétrique par rapport à $0$, on peut réduire le domaine d'intégration : \[ I(m) = 2 \int_0^m e^{-2x} \,dx \]
La primitive de $e^{-2x}$ est immédiate : \[ I(m) = 2 \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_0^m \] \[ I(m) = 2 \left( -\frac{1}{2} e^{-2m} - \left(-\frac{1}{2} e^0\right) \right) \] \[ I(m) = -e^{-2m} + 1 \] \[ I(m) = 1 - e^{-2m} \]
- Calcul de $I(m)$ en fonction de $m$ :
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- Calcul de la limite :
On a: \[ \lim\limits_{m\to +\infty} e^{-2m} = 0 \]
Par conséquent: \[ \lim\limits_{m\to +\infty} I(m) = 1 - 0 = 1 \]
- Calcul de la limite :