Exercice INT 20 : Énoncé & Corrigé Détaillé - Bac & Lycée

Exercice INT 20

Exercice Publié par admin le 18 février 2026

Bac Sciences Mathématiques & Lycée Calcul intégral Énoncé avec corrigé détaillé

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

Énoncé de l'exercice :

En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_0^1 (x+a)e^x \,dx = e$$

Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet

Détermination du réel $a$
- Par linéarité de l'intégrale, scindons l'intégrale initiale en deux termes :
\[ \begin{align*} \int_0^1 (x+a)e^x \,dx &= \int_0^1 x e^x \,dx + a \int_0^1 e^x \,dx \end{align*} \]
- Appliquons l'intégration par parties uniquement sur la première intégrale, en faisant apparaître implicitement la dérivée de la fonction exponentielle :
\[ \begin{align*} \int_0^1 x e^x \,dx &= \int_0^1 x (e^x)' \,dx \\ &= \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x \,dx \\ &= (1 \times e^1 - 0 \times e^0) - \int_0^1 e^x \,dx \\ &= e - \int_0^1 e^x \,dx \end{align*} \]
- En substituant ce résultat dans l'équation initiale, on obtient :
\[ \begin{align*} \int_0^1 (x+a)e^x \,dx &= \left( e - \int_0^1 e^x \,dx \right) + a \int_0^1 e^x \,dx \\ &= e + (a-1)\int_0^1 e^x \,dx \end{align*} \]
- L'énoncé nous indique que cette intégrale vaut $e$. Nous pouvons donc poser l'égalité suivante :
\[ \begin{align*} e + (a-1)\int_0^1 e^x \,dx &= e \\ (a-1)\int_0^1 e^x \,dx &= 0 \end{align*} \]
- La fonction exponentielle étant strictement positive sur l'intervalle d'intégration $[0, 1]$, son intégrale $\int_0^1 e^x \,dx$ est strictement positive et donc non nulle.
- Par conséquent, pour que ce produit soit nul, il faut nécessairement que le second facteur s'annule :
\[ \begin{align*} a - 1 &= 0 \\ a &= 1 \end{align*} \]

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