Exercices Corrigés (Page 28) - Mathématiques Bac & High School

Exercice INT 4

Calculer les intégrales suivantes : $D_1 = \int_1^2 \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \,dx$ ; $D_2 = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin(2x)e^{\cos^2 x} \,dx$ $D_3 = \int_1^{e^2} \frac{\ln t}{t} \,dt$ ; $D...

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Exercice INT 5

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\ln 3} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \,dx$ ; $I_2 = \int_2^3 (2-x)e^{x^2-4x} \,dx$ $I_3 = \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)}$ ; $I_4 = \int_...

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Exercice INT 6

On considère l'intégrale : $I = \int_0^{\frac{pi}{4}} \frac{dx}{1+\sin(2x)}$ Montrer que pour tout $x \in \left[0;\frac{pi}{4}\right]$ : $$\frac{1}{1+\sin(2x)} = \frac{1+\tan^2 x}{(1+\tan x)^2}$...

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Exercice INT 7

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \,dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \,dx$$ Calculer $I+J$ et $...

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Exercice INT 8

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \cos^4 x \,dx \quad ; \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin^4 x \,dx \quad ; \quad K = \int_0^{\frac{pi}{2}} 2\sin^2(x)\cos^2(x) \,dx$$ Ca...

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Exercice INT 9

Soit $f$ la fonction numérique sur $\mathbb{R}$ définie par : $$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{4}x+6 & \text{si } x Vérifier que $f$ est continue en 3 puis calculer $\int_{-1}^{5} f(x) \,dx$....

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Exercice INT 10

Calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{-1}^3 |3x^2 - 6x| \,dx$ ; $B = \int_2^5 |x^2 - 7x + 12| \,dx$ $I = \int_{1/e}^e |\ln x| \,dx$ ; $J = \int_0^{2\pi} (|\sin x| + |\cos x|) \,dx$ ...

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Exercice INT 11

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \frac{1}{(x^2+3x+2)^3}$ Déterminer les réels $a, b, c, d, \alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $x \in [2;3]$ : $$f(x) = \frac{a}{(x+1)^3} + \frac{b}...

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Exercice INT 12

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{x}{\sqrt{1+2x}} \,dx$ ; $B = \int_1^e x \ln x \,dx$ $C = \int_0^1 (x+3)e...

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Exercice INT 13

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\frac{pi}{2}} (2x^2-x)\cos x \,dx$ ; $J = \int_0^{\pi} (3x+4)\cos^2 x \,dx$ $K = \int_1^2 x...

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Exercice INT 14

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x}{\cos^2 x} \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x \sin x}{\cos^...

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Exercice INT 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par : $u_n = \int_1^e x^n \ln(x) \,dx$ En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ et pou...

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Exercice INT 16

On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{xe^x}{e^x+1}$ Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f'(x) = \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2}$$ En utilisan...

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Exercice INT 17

En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, montrer que : $$\int_0^{\frac{pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt = \frac{1}{4}$$ On considère les intégrales $E$ et $F$ telles que : ...

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Exercice INT 18

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $$(\forall n \in...

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Exercice INT 4

Calculer les intégrales suivantes : $D_1 = \int_1^2 \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \,dx$ ; $D_2 = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin(2x)e^{\cos^2 x} \,dx$ $D_3 = \int_1^{e^2} \frac{\ln t}{t} \,dt$ ; $D...

Exercice INT 5

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\ln 3} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \,dx$ ; $I_2 = \int_2^3 (2-x)e^{x^2-4x} \,dx$ $I_3 = \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)}$ ; $I_4 = \int_...

Exercice INT 6

On considère l'intégrale : $I = \int_0^{\frac{pi}{4}} \frac{dx}{1+\sin(2x)}$ Montrer que pour tout $x \in \left[0;\frac{pi}{4}\right]$ : $$\frac{1}{1+\sin(2x)} = \frac{1+\tan^2 x}{(1+\tan x)^2}$...

Exercice INT 7

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \,dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \,dx$$ Calculer $I+J$ et $...

Exercice INT 8

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \cos^4 x \,dx \quad ; \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin^4 x \,dx \quad ; \quad K = \int_0^{\frac{pi}{2}} 2\sin^2(x)\cos^2(x) \,dx$$ Ca...

Exercice INT 9

Soit $f$ la fonction numérique sur $\mathbb{R}$ définie par : $$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{4}x+6 & \text{si } x Vérifier que $f$ est continue en 3 puis calculer $\int_{-1}^{5} f(x) \,dx$....

Exercice INT 10

Calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{-1}^3 |3x^2 - 6x| \,dx$ ; $B = \int_2^5 |x^2 - 7x + 12| \,dx$ $I = \int_{1/e}^e |\ln x| \,dx$ ; $J = \int_0^{2\pi} (|\sin x| + |\cos x|) \,dx$ ...

Exercice INT 11

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \frac{1}{(x^2+3x+2)^3}$ Déterminer les réels $a, b, c, d, \alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $x \in [2;3]$ : $$f(x) = \frac{a}{(x+1)^3} + \frac{b}...

Exercice INT 12

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{x}{\sqrt{1+2x}} \,dx$ ; $B = \int_1^e x \ln x \,dx$ $C = \int_0^1 (x+3)e...

Exercice INT 13

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\frac{pi}{2}} (2x^2-x)\cos x \,dx$ ; $J = \int_0^{\pi} (3x+4)\cos^2 x \,dx$ $K = \int_1^2 x...

Exercice INT 14

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x}{\cos^2 x} \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x \sin x}{\cos^...

Exercice INT 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par : $u_n = \int_1^e x^n \ln(x) \,dx$ En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ et pou...

Exercice INT 16

On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{xe^x}{e^x+1}$ Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f'(x) = \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2}$$ En utilisan...

Exercice INT 17

En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, montrer que : $$\int_0^{\frac{pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt = \frac{1}{4}$$ On considère les intégrales $E$ et $F$ telles que : ...

Exercice INT 18

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $$(\forall n \in...