Exercice INT 19

Exercice Publié par admin le 18 février 2026
Bac Sciences MathĂ©matiques & LycĂ©e Calcul intĂ©gral ÉnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

ÉnoncĂ© de l'exercice :

  1. VĂ©rifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^*_+)$ $$\frac{1}{t(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$$
  2. Calculer l'intégrale : $I = \int_0^{\ln 2} \frac{dx}{(e^x+1)^2}$
  3. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : $$J = \int_0^1 \frac{xe^x}{(e^x+1)^3} \,dx$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
  1. Vérification de l'égalité
    • Soit $t \in \mathbb{R}^*_+$. En procĂ©dant par dĂ©composition successive, on obtient directement le rĂ©sultat :
    \[ \begin{align*} \frac{1}{t(t+1)^2} &= \frac{1}{t+1} \left( \frac{1}{t(t+1)} \right) \\ &= \frac{1}{t+1} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) \\ &= \frac{1}{t(t+1)} - \frac{1}{(t+1)^2} \\ &= \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) - \frac{1}{(t+1)^2} \\ &= \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2} \end{align*} \]

  2. Calcul de l'intégrale $I$ par manipulation algébrique
    • Transformons l'intĂ©grand en faisant apparaĂźtre le terme $e^x$ au numĂ©rateur :
    \[ \begin{align*} \frac{1}{(e^x+1)^2} &= \frac{1 + e^x - e^x}{(e^x+1)^2} \\ &= \frac{1+e^x}{(e^x+1)^2} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2} \\ &= \frac{1}{e^x+1} - e^x(e^x+1)^{-2} \end{align*} \]
    • Pour le premier terme, multiplions le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur par $e^{-x}$ afin de faire apparaĂźtre une forme $\frac{u'}{u}$ :
    \[ \begin{align*} \frac{1}{e^x+1} &= \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x+1)} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \end{align*} \]
    • L'intĂ©grale $I$ se rĂ©Ă©crit alors sous une forme oĂč les primitives sont immĂ©diates :
    \[ \begin{align*} I &= \int_0^1 \left( \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} - e^x(e^x+1)^{-2} \right) \,dx \\ &= \int_0^1 \left( - \frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} - e^x(e^x+1)^{-2} \right) \,dx \\ &= \left[ -\ln(1+e^{-x}) - \left(-\frac{1}{e^x+1}\right) \right]_0^1 \\ &= \left[ -\ln(1+e^{-x}) + (e^x+1)^{-1} \right]_0^1 \end{align*} \]
    • Il ne reste plus qu'Ă  Ă©valuer aux bornes :
    \[ \begin{align*} I &= \left( -\ln(1+e^{-1}) + (e+1)^{-1} \right) - \left( -\ln(1+e^0) + (e^0+1)^{-1} \right) \\ &= -\ln\left(\frac{e+1}{e}\right) + \frac{1}{e+1} + \ln(2) - \frac{1}{2} \\ &= -(\ln(e+1) - \ln e) + \frac{1}{e+1} + \ln(2) - \frac{1}{2} \\ I &= 1 - \ln(e+1) + \frac{1}{e+1} + \ln 2 - \frac{1}{2} \\ I &= \frac{1}{2} + \ln 2 - \ln(e+1) + \frac{1}{e+1} \end{align*} \]

  3. Calcul de l'intégrale $J$ par parties
    • En utilisant les exposants nĂ©gatifs, rĂ©Ă©crivons l'intĂ©grale : $J = \int_0^1 x e^x(e^x+1)^{-3} \,dx$.
    • Le facteur $e^x(e^x+1)^{-3}$ est de la forme $u'u^{-3}$, dont une primitive immĂ©diate est $-\frac{1}{2}u^{-2}$. Faisons apparaĂźtre cette dĂ©rivĂ©e implicitement :
    \[ \begin{align*} J &= \int_0^1 x \left( -\frac{1}{2}(e^x+1)^{-2} \right)' \,dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2}x(e^x+1)^{-2} \right]_0^1 - \int_0^1 1 \times \left( -\frac{1}{2}(e^x+1)^{-2} \right) \,dx \\ &= -\frac{1}{2}(e+1)^{-2} - 0 + \frac{1}{2} \int_0^1 (e^x+1)^{-2} \,dx \end{align*} \]
    • On reconnaĂźt exactement l'intĂ©grale $I$ calculĂ©e Ă  la question prĂ©cĂ©dente :
    \[ \begin{align*} J &= -\frac{1}{2}(e+1)^{-2} + \frac{1}{2} I \\ &= -\frac{1}{2}(e+1)^{-2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \ln 2 - \ln(e+1) + \frac{1}{e+1} \right) \\ J &= -\frac{1}{2(e+1)^2} + \frac{1}{4} + \frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln(e+1)}{2} + \frac{1}{2(e+1)} \end{align*} \]
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