Expression de $u_n$ par intégration par parties

1. Majoration de la valeur absolue de l'intégrale

   Pour tout $x \in [1, \pi]$, on a la majoration classique : $|\cos x| \le 1$.
   Puisque $x^{n-1} > 0$ sur l'intervalle $[1, \pi]$, on obtient en divisant : \[ \left| \frac{\cos x}{x^{n-1}} \right| = \frac{|\cos x|}{x^{n-1}} \le \frac{1}{x^{n-1}} \] En intégrant cette inégalité sur $[1, \pi]$ (les bornes étant dans l'ordre croissant) : \[ \left| \int_1^\pi \frac{\cos x}{x^{n-1}} \,dx \right| \le \int_1^\pi \left| \frac{\cos x}{x^{n-1}} \right| \,dx \le \int_1^\pi \frac{dx}{x^{n-1}} \]



2. Calcul de la limite de l'intégrale

   Pour tout entier $n \ge 3$, calculons l'intégrale majorante : \[ \int_1^\pi \frac{dx}{x^{n-1}} = \int_1^\pi x^{-n+1} \,dx = \left[ \frac{x^{-n+2}}{-n+2} \right]_1^\pi = \frac{\pi^{-n+2} - 1}{-n+2} = \frac{1 - \pi^{2-n}}{n-2} \] Puisque $\pi > 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} \pi^{2-n} = 0$. On en déduit : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \pi^{2-n}}{n-2} = 0 \] D'après le théorème des gendarmes et la majoration de la question précédente, on conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} \left( \int_1^\pi \frac{\cos x}{x^{n-1}} \,dx \right) = 0 \]



3. Calcul de la limite de la suite $(u_n)$

   D'après la première question, l'expression de la suite est : \[ u_n = \frac{n}{n-1} \left( \sin 1 + \int_1^\pi \frac{\cos x}{x^{n-1}} \,dx \right) \] On évalue les limites des deux facteurs :
   • $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n-1} == 1$
   • D'après la question précédente, $\lim_{n \to +\infty} \left( \sin 1 + \int_1^\pi \frac{\cos x}{x^{n-1}} \,dx \right) = \sin 1 + 0 = \sin 1$
   Par produit des limites, on obtient le résultat final : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \times \sin 1 = \sin 1 \]