Correction de l'exercice

1. Calcul par double intégration par parties

   • Notons $I = \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt$. Procédons à une première intégration par parties :
   \[ \begin{align*} I &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} \left(-\frac{1}{2}e^{-2t}\right)' \cos(2t) \,dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2}e^{-2t} \cos(2t) \right]_0^{\frac{\pi}{8}} - \int_0^{\frac{\pi}{8}} \left(-\frac{1}{2}e^{-2t}\right)(-2\sin(2t)) \,dt \\ &= \left( -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2} \right) - \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \sin(2t) \,dt \end{align*} \]
   • Appliquons la même méthode pour la seconde intégrale :
   \[ \begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \sin(2t) \,dt &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} \left(-\frac{1}{2}e^{-2t}\right)' \sin(2t) \,dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2}e^{-2t} \sin(2t) \right]_0^{\frac{\pi}{8}} - \int_0^{\frac{\pi}{8}} \left(-\frac{1}{2}e^{-2t}\right)(2\cos(2t)) \,dt \\ &= -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{\pi}{4}} + \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt \\ &= -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{\pi}{4}} + I \end{align*} \]
   • En réinjectant ce résultat dans la première équation, nous obtenons :
   \[ \begin{align*} I &= -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2} - \left( -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{\pi}{4}} + I \right) \\ I &= \frac{1}{2} - I \\ 2I &= \frac{1}{2} \implies I = \frac{1}{4} \end{align*} \]



2. Calcul des intégrales $E$ et $ F $

   • Calculons $E+F$ :
   \[ \begin{align*} E+F &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \left( \cos^2(t) + \sin^2(t) \right) \,dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \,dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2}e^{-2t} \right]_0^{\frac{\pi}{8}} \\ &= \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{2} \end{align*} \]
   • En utilisant la formule de duplication $\cos^2(t) - \sin^2(t) = \cos(2t)$, calculons $E-F$ :
   \[ \begin{align*} E-F &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \left( \cos^2(t) - \sin^2(t) \right) \,dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt \\ &= \frac{1}{4} \quad \text{(d'après la première question)} \end{align*} \]
   • Déduisons les valeurs de $E$ et $F$ en additionnant puis en soustrayant les deux équations :
   \[ \begin{align*} 2E &= (E+F) + (E-F) = \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{2} + \frac{1}{4} \implies E = \frac{3 - 2e^{-\frac{\pi}{4}}}{8} \\ 2F &= (E+F) - (E-F) = \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{2} - \frac{1}{4} \implies F = \frac{1 - 2e^{-\frac{\pi}{4}}}{8} \end{align*} \]

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• Calcul de $~E~$ par linéarisation

  • En utilisant la formule de linéarisation $\cos^2(t) = \frac{1+\cos(2t)}{2}$, l'intégrale $E$ peut être décomposée :
  \[ \begin{align*} E &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \left( \frac{1+\cos(2t)}{2} \right) \,dt \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \,dt + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt \end{align*} \]
  • D'après le résultat de la première question, nous savons que: $~~\int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt = \frac{1}{4}$.
    Calculons l'intégrale restante :
  \[ \begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \,dt &= \left[ -\frac{1}{2}e^{-2t} \right]_0^{\frac{\pi}{8}} \\ &= -\frac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{4}} - \left(-\frac{1}{2}e^0\right) \\ &= \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{2} \end{align*} \]
  • En substituant ces valeurs dans l'expression de $E$, on obtient :
  \[ \begin{align*} E &= \frac{1}{2} \left( \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{2} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right) \\ &= \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{4} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{2 - 2e^{-\frac{\pi}{4}} + 1}{8} \\ E &= \frac{3 - 2e^{-\frac{\pi}{4}}}{8} \end{align*} \]



• Calcul de $F$ par linéarisation:

  • De manière analogue, en utilisant l'identité $\sin^2(t) = \frac{1-\cos(2t)}{2}$, l'intégrale $F$ s'écrit :
  \[ \begin{align*} F &= \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \left( \frac{1-\cos(2t)}{2} \right) \,dt \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \,dt - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt \end{align*} \]
  • En réutilisant les valeurs calculées précédemment :
  \[ \begin{align*} F &= \frac{1}{2} \left( \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{2} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right) \\ &= \frac{1 - e^{-\frac{\pi}{4}}}{4} - \frac{1}{8} \\ &= \frac{2 - 2e^{-\frac{\pi}{4}} - 1}{8} \\ F &= \frac{1 - 2e^{-\frac{\pi}{4}}}{8} \end{align*} \]