Déterminants - Exercices Corrigés Bac & Lycée

Exercice DET 1

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ de colonnes $ C_1, \dots, C_n $. Calculer le déterminant de la matrice $ B $ de colonnes: \[ C_1 - C_2, \dots, C_{n-1} - C_n, C_n - C_1 .\]...

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Exercice DET 2

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \quad (n \ge 2) $, de colonnes, $~ A_1, \dots, A_n $. et Soit $~ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ~$ de colonnes, $~ B_1, \dots, B_n $ déterminées par: \[ B_...

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Exercice DET 3

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ telles que $ AB = BA $. Montrer que $ \det(A^2 + B^2) \ge 0 $....

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Exercice DET 4

Soient $ n \in \mathbb{N}^* $, $~E ~$ un $~ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $, $ f \in \mathcal{L}(E) $ et $ \mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n) $ une base de $ E $. Montrer que pour tout...

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Exercice DET 5

Soient $ A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ antisymétrique et $ J \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Etablir : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \...

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Exercice DET 6

Calculer le déterminant : \[ \begin{vmatrix} a_1+x & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2+x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n+x \end{vmatrix} \] pour $ ~~x, ...

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Exercice DET 7

Soient $ x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de Vandermonde : \[ V_n(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n...

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Exercice DET 8

Calculer pour $ a_1, \dots, a_n~$ dans $~\mathbb{K}, ~$ le déterminant suivant : \[ D_k = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{k-1} & a_1^{k+1} & \cdots & a_1^n \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{k-1} & ...

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Exercice DET 9

Calculer : \[ D_n = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-2} & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-2} & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_n & a_...

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Exercice DET 10

Soient $~\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} ~$ distincts et $~ P(X) = \prod_{i=1}^n (X - \lambda_i) $. Calculer : \[ \Delta(X) = \begin{vmatrix} \frac{P(X)}{X - \lambda_1} & \frac{P(X)}{X -...

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Exercice DET 11

On pose $ P_n(X) = X^n - X + 1 $. Montrer que $ P_n $ admet $ n $ racines distinctes $ z_1, \dots, z_n $ dans $ \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice : \[ \begin{pmatrix...

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Exercice DET 12

Soient $ a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient : \[ a_{i,j} = \begin{cases} a_i + b_i & \text{si } i = j \\ b_j & \text{sinon} \end...

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Exercice DET 13

Pour $ a \in \mathbb{K}^* $, calculer[cite: 36]: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2a & a & & (0) \\ a & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a \\ (0) & & a & 2a \end{vmatrix} \] ...

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Exercice DET 14

Soient $ a, b \in \mathbb{C}^* $ distincts. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} a+b & ab & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & ab \\ (0) & & 1 & a+b \end{vmatrix} \]...

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Exercice DET 15

Soient $ x \in \mathbb{C} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & & (0) \\ x & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & x \\ (0) & & x & 1+x^2 \end{vmatrix}_{[n]} ...

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Exercice DET 16

Soient $ \theta \in \mathbb{R} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2\cos\theta & 1 & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ (0) & & 1 & 2\cos\theta \en...

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Exercice DET 17

Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ 2 & 1 & 0 & \ddots & 2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ n & \cdots & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}_{[n...

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Exercice DET 18

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ D $ est inversible et que $ C $ et $ D $ commutent. Établir : \[ \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD - BC)...

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Exercice DET 19

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ avec $ AC = CA $. Montrer que : \[ \det\begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix} = \det(DA - BC) \]...

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Exercice DET 20

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Montrer que: \[ \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = \det(A+B)\det(A-B) .\] Justifier que: \[ \begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \...

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Exercice DET 21

Exercice 21 Soient $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et : \[ A = \begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) \] A quelle condition la matrice $ A $ est...

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Exercice DET 22

Montrer que le polynôme $ P(x) $ suivant est divisible par $ (x-1)^3 $: \[ P(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \end{vmatrix} \]...

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Exercice DET 23

Soit la matrice $ A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On définit la matrice $ B = (b_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ en posant : \[ b_{i,j} = (-1)^{i+j} a_{i,j} \] Comparer $ \det(...

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Exercice DET 1

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ de colonnes $ C_1, \dots, C_n $. Calculer le déterminant de la matrice $ B $ de colonnes: \[ C_1 - C_2, \dots, C_{n-1} - C_n, C_n - C_1 .\]...

Exercice DET 2

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \quad (n \ge 2) $, de colonnes, $~ A_1, \dots, A_n $. et Soit $~ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ~$ de colonnes, $~ B_1, \dots, B_n $ déterminées par: \[ B_...

Exercice DET 3

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ telles que $ AB = BA $. Montrer que $ \det(A^2 + B^2) \ge 0 $....

Exercice DET 4

Soient $ n \in \mathbb{N}^* $, $~E ~$ un $~ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $, $ f \in \mathcal{L}(E) $ et $ \mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n) $ une base de $ E $. Montrer que pour tout...

Exercice DET 5

Soient $ A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ antisymétrique et $ J \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Etablir : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \...

Exercice DET 6

Calculer le déterminant : \[ \begin{vmatrix} a_1+x & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2+x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n+x \end{vmatrix} \] pour $ ~~x, ...

Exercice DET 7

Soient $ x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de Vandermonde : \[ V_n(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n...

Exercice DET 8

Calculer pour $ a_1, \dots, a_n~$ dans $~\mathbb{K}, ~$ le déterminant suivant : \[ D_k = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{k-1} & a_1^{k+1} & \cdots & a_1^n \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{k-1} & ...

Exercice DET 9

Calculer : \[ D_n = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-2} & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-2} & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_n & a_...

Exercice DET 10

Soient $~\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} ~$ distincts et $~ P(X) = \prod_{i=1}^n (X - \lambda_i) $. Calculer : \[ \Delta(X) = \begin{vmatrix} \frac{P(X)}{X - \lambda_1} & \frac{P(X)}{X -...

Exercice DET 11

On pose $ P_n(X) = X^n - X + 1 $. Montrer que $ P_n $ admet $ n $ racines distinctes $ z_1, \dots, z_n $ dans $ \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice : \[ \begin{pmatrix...

Exercice DET 12

Soient $ a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient : \[ a_{i,j} = \begin{cases} a_i + b_i & \text{si } i = j \\ b_j & \text{sinon} \end...

Exercice DET 13

Pour $ a \in \mathbb{K}^* $, calculer[cite: 36]: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2a & a & & (0) \\ a & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a \\ (0) & & a & 2a \end{vmatrix} \] ...

Exercice DET 14

Soient $ a, b \in \mathbb{C}^* $ distincts. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} a+b & ab & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & ab \\ (0) & & 1 & a+b \end{vmatrix} \]...

Exercice DET 15

Soient $ x \in \mathbb{C} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & & (0) \\ x & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & x \\ (0) & & x & 1+x^2 \end{vmatrix}_{[n]} ...

Exercice DET 16

Soient $ \theta \in \mathbb{R} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2\cos\theta & 1 & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ (0) & & 1 & 2\cos\theta \en...

Exercice DET 17

Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ 2 & 1 & 0 & \ddots & 2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ n & \cdots & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}_{[n...

Exercice DET 18

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ D $ est inversible et que $ C $ et $ D $ commutent. Établir : \[ \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD - BC)...

Exercice DET 19

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ avec $ AC = CA $. Montrer que : \[ \det\begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix} = \det(DA - BC) \]...

Exercice DET 20

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Montrer que: \[ \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = \det(A+B)\det(A-B) .\] Justifier que: \[ \begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \...

Exercice DET 21

Exercice 21 Soient $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et : \[ A = \begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) \] A quelle condition la matrice $ A $ est...

Exercice DET 22

Montrer que le polynôme $ P(x) $ suivant est divisible par $ (x-1)^3 $: \[ P(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \end{vmatrix} \]...

Exercice DET 23

Soit la matrice $ A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On définit la matrice $ B = (b_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ en posant : \[ b_{i,j} = (-1)^{i+j} a_{i,j} \] Comparer $ \det(...