Exercice P51 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Extrait Bac Maroc, Sc.Maths, Juillet 2005

Soit $~n~$ un entier naturel supérieur ou égal à $~20$ . Une urne contient dix boules blanches et $~(n-10)~$ boules noires, on suppose que toutes les boules sont indiscernable au toucher.
On tire de cette urne une boule et on note sa couleur puis on la remets dans l’urne.
On répète cette expérience aléatoire n fois. On note $~p_k~$ la probabilité d'obtenir exactement $~k~$ boules blanches $~(0\leq k\leq n)$ .

Calculer $~p_k~$ en fonction de $~k$.
Montrer que: $~\forall k \in [0~,~n-1]\quad u_k=\left(\dfrac{p_{k+1}}{p_k}\right)= \left(\dfrac{n-k}{k+1}\right)\times \left(\dfrac{10}{n-10}\right)$
Montrer les équivalences: $$\begin{cases} 0\leq k\leq 9 \quad &\Longleftrightarrow\quad u_k\geq 1 \\ 10\leq k\leq n-1 &\Longleftrightarrow\quad u_k\leq 1 \\ \end{cases}$$
En déduire la plus grande valeur $~M~$ de $~p_k ~\text{pour:}~ k\in\{1,2,\cdots,n\}$
Montrer que:$$M=\left(\frac{n!}{n^n} \right) \left(\frac{10^{10}}{10!} \right) \left(\frac{(n-10)^{n-10}}{(n-10)!} \right)$$

L'expérience consiste en une répétition de $ n $ tirages indépendants avec remise. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
La probabilité de tirer une boule blanche lors d'un tirage est $ p = \frac{10}{n} $.
La probabilité de tirer une boule noire est $ q = \frac{n-10}{n} $.
La probabilité $ p_k $ d'obtenir exactement $ k $ boules blanches suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(n, p) $ : \[ p_k = C_n^k \left(\frac{10}{n}\right)^k \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-k} \]

Pour tout $ k \in [0, n-1] $ : \[ u_k = \frac{p_{k+1}}{p_k} = \frac{C_n^{k+1} \left(\frac{10}{n}\right)^{k+1} \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-k-1}}{C_n^k \left(\frac{10}{n}\right)^k \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-k}} \] En développant les combinaisons : \[ u_k = \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} \times \left(\frac{10}{n}\right) \times \left(\frac{n}{n-10}\right) \] \[ u_k = \frac{k!(n-k)!}{(k+1)!(n-k-1)!} \times \frac{10}{n-10} \] \[ u_k = \left(\frac{n-k}{k+1}\right) \times \left(\frac{10}{n-10}\right) \]

Étudions la position de $ u_k $ par rapport à $ 1 $. Réécrivons le rapport sous la forme : \[ u_k = \left(\frac{n-k}{n-10}\right) \times \left(\frac{10}{k+1}\right) \]
- Si $ k \leq 9 $ :
  On a d'une part $ n-k \geq n-9 > n-10 $, d'où $ \frac{n-k}{n-10} \geq 1 $.
  D'autre part, $ k+1 \leq 10 $, d'où $ \frac{10}{k+1} \geq 1 $.
  Le produit de ces deux facteurs est donc supérieur ou égal à $ 1 $, soit $ u_k \geq 1 $.
- Si $ k \geq 10 $ :
  On a d'une part $ n-k \leq n-10 $, d'où $ \frac{n-k}{n-10} \leq 1 $.
  D'autre part, $ k+1 \geq 11 $, d'où $ \frac{10}{k+1} < 1 $.
  Le produit de ces deux facteurs est donc strictement inférieur à $ 1 $, soit $ u_k \leq 1 $.

Des inégalités précédentes, on déduit les variations de la suite $ (p_k) $ :
- Pour $ 0 \leq k \leq 9 $, on a $ \frac{p_{k+1}}{p_k} \geq 1 $, donc $ p_{k+1} \geq p_k $.
- Pour $ 10 \leq k \leq n-1 $, on a $ \frac{p_{k+1}}{p_k} \leq 1 $, donc $ p_{k+1} \leq p_k $.
La suite $ (p_k) $ est donc croissante jusqu'à $ k=10 $ et décroissante ensuite. La plus grande valeur $ M $ est atteinte pour $ k = 10 $.
\[ M = p_{10} = C_n^{10} \left(\frac{10}{n}\right)^{10} \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-10} \] En explicitant le coefficient binomial : \[ M = \frac{n!}{10!(n-10)!} \times \frac{10^{10}}{n^{10}} \times \frac{(n-10)^{n-10}}{n^{n-10}} \] En regroupant astucieusement les facteurs : \[ M = \left(\frac{n!}{n^{10} \times n^{n-10}}\right) \left(\frac{10^{10}}{10!}\right) \left(\frac{(n-10)^{n-10}}{(n-10)!}\right) \] \[ M = \left(\frac{n!}{n^n}\right) \left(\frac{10^{10}}{10!}\right) \left(\frac{(n-10)^{n-10}}{(n-10)!}\right) \]

Énoncé de l'exercice :

Exercices similaires dans Probabilités