L'expérience consiste à distribuer 4 boules distinctes à 6 personnes. Il s'agit d'un arrangement avec répétition.

1. Dénombrement des éventualités possibles

   Chaque boule peut être attribuée à l'une des 6 personnes. Le nombre total de distributions est :

   \[ \text{Card}(\Omega) = 6^4 = 1296 \]



2. Probabilité qu'A reçoive au moins une boule

   En utilisant l'évènement contraire $\overline{A}$ : « A ne reçoit aucune boule ».

   Les 4 boules sont alors réparties parmi les 5 autres personnes :

   \[ p(\overline{A}) = \frac{5^4}{6^4} = \frac{625}{1296} \]

   On en déduit la probabilité recherchée :

   \[ p(A \ge 1) = 1 - p(\overline{A}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \]



3. Probabilité de l'évènement $E$

   A reçoit exactement une seule boule. On adopte les notations suivantes :

   • $X(y)$ : signifie que la boule portant le numéro $y$ est attribuée à la personne $X$
   • $X(y, z)$ : les boules de numéros $y$ et $z$ sont attribuées à $X$
   • Si $A(1)$ ou $A(2)$ : Il est impossible d'obtenir une somme de $1$ ou $2$ avec les boules restantes.
   
   
   • Si $A(3)$ : B et C doivent se répartir les boules 1 et 2. Les distributions possibles pour le couple (B, C) sont au nombre de $4$ :

     $B(1)$ et $C(2)$  |  $B(2)$ et $C(1)$  |  $B(1, 2)$  |  $C(1, 2)$

     La boule 4 restante est donnée à D, E ou F ($3$ possibilités).
     Soit $4 \times 3 = 12$ éventualités.
   
   
   • Si $A(4)$ : B et C doivent se répartir les boules 1 et 3. Les distributions possibles pour le couple (B, C) sont au nombre de $4$ :

     $B(1)$ et $C(3)$  |  $B(3)$ et $C(1)$  |  $B(1, 3)$  |  $C(1, 3)$

     La boule 2 restante est donnée à D, E ou F ($3$ possibilités).
     Soit $4 \times 3 = 12$ éventualités.

   Le nombre de cas favorables est $12 + 12 = 24$.

   \[ p(E) = \frac{24}{1296} = \frac{1}{54} \]