Soient les évènements pour $i \in \{1, 2\}$ :

• $R_i$ : « la boule tirée au tirage $i$ est rouge »
• $B_i$ : « la boule tirée au tirage $i$ est blanche »

L'urne contient initialement 10 boules rouges et 10 boules blanches (20 boules au total). Par conséquent, $P(R_1) = \frac{1}{2}$ et $P(B_1) = \frac{1}{2}$.

1. Probabilité d'obtenir deux boules rouges

   Si la première boule est rouge, elle est remise dans l'urne. La composition de l'urne reste identique pour le second tirage (10 rouges, 10 blanches).

   \[ P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) = \frac{1}{2} \times \frac{10}{20} \] Soit: \[P(R_1 \cap R_2) = \frac{1}{4} \]



2. Probabilité d'obtenir deux boules blanches

   Si la première boule est blanche, elle est remplacée par 3 boules rouges. L'urne contient alors 9 boules blanches et 13 boules rouges (22 boules au total).

   \[ P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P_{B_1}(B_2) =\frac{1}{2} \times \frac{9}{22} \] Soit: \[ P(B_1 \cap B_2) = \frac{9}{44} \]



3. Probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes

   Cet évènement correspond à la réunion disjointe $(R_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap R_2)$.

   \begin{align*} P(\text{couleurs différentes}) &= P(R_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap R_2) \\ &= P(R_1) \times P_{R_1}(B_2) + P(B_1) \times P_{B_1}(R_2) \\ &= \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{13}{22}\right) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{13}{44} \\ P(\text{couleurs différentes})&=\frac{6}{11} \end{align*}



4. Probabilité que la première soit blanche sachant que la deuxième l'est

   On cherche la probabilité conditionnelle $P_{B_2}(B_1)$.

   \[ P_{B_2}(B_1) = \frac{P(B_1 \cap B_2)}{P(B_2)} \]

   D'après la formule des probabilités totales, calculons d'abord $P(B_2)$ :

   \[ P(B_2) = P(R_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap B_2) = \frac{1}{4} + \frac{9}{44} = \frac{11}{44} + \frac{9}{44} = \frac{20}{44} = \frac{5}{11} \]

   On en déduit la probabilité cherchée :

   \[ P_{B_2}(B_1) = \frac{\frac{9}{44}}{\frac{20}{44}} \] Soit: \[ P_{B_2}(B_1)=\frac{9}{20}\]