Exercice P60 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2017

Une urne contient $~2n~$ boules dont $~n~$ boules blanches et $~n~$ boules noires.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne et de noter sa couleur puis de la remettre dans l'urne puis de retirer au hasard une nouvelle boule de l'urne et de même noter sa couleur :

Si les 2 boules tirées sont blanches on gagne alors 20pts
Si les 2 boules tirées sont noires on perd alors 20pts
Si les 2 boules tirées sont différentes rien n’arrive alors.

1. Calculer la probabilité de gagner 20 points
2. Calculer la probabilité de perdre 20 points
3. Calculer la probabilité d’un gain nul.
Au cours d'une seule partie de ce jeu, on considère la variable aléatoire $~X~$ qui prend $-20~$ (perte) et $~+20~$ (gain) et $~0~$ (nul)
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$
2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire de $X$.

1. Les tirages s'effectuent avec remise, ils sont donc indépendants. L'urne contient $2n$ boules dont $n$ blanches et $n$ noires. La probabilité de tirer une boule blanche est $p(B) = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$ et celle de tirer une boule noire est $p(N) = \frac{1}{2}$.
  Gagner 20 points correspond à l'événement : « tirer deux boules blanches ». \begin{align*} p(\text{Gagner } 20 \text{ points}) &= p(B) \times p(B) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \end{align*} Soit : \[ p(\text{Gagner } 20 \text{ points}) = \frac{1}{4} \]
2. Perdre 20 points correspond à l'événement : « tirer deux boules noires ». \begin{align*} p(\text{Perdre } 20 \text{ points}) &= p(N) \times p(N) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \end{align*} Soit : \[ p(\text{Perdre } 20 \text{ points}) = \frac{1}{4} \]
3. Un gain nul correspond à l'événement : « tirer deux boules de couleurs différentes » (une blanche puis une noire, ou une noire puis une blanche). \begin{align*} p(\text{Gain nul}) &= p(B) \times p(N) + p(N) \times p(B) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \end{align*} Ce qui implique : \[ p(\text{Gain nul}) = \frac{1}{2} \]

1. La variable aléatoire $X$ prend les valeurs de l'ensemble $X(\Omega) = \{-20, 0, 20\}$. D'après les questions précédentes, la loi de probabilité de $X$ est donnée par :
  - $p(X = -20) = \frac{1}{4}$
  - $p(X = 0) = \frac{1}{2}$
  - $p(X = 20) = \frac{1}{4}$
2. L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est : \begin{align*} E(X) &= -20 \times p(X=-20) + 0 \times p(X=0) + 20 \times p(X=20) \\ &= -20 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 20 \times \frac{1}{4} \\ &= -5 + 0 + 5 \end{align*} Soit : \[ E(X) = 0 \]

Énoncé de l'exercice :

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