Dans une urne se trouvent 6 boule dont 4 sont rouges et 2 sont vertes.
5 personnes tirent sans remise l'une après l'autre chacun une boule.
Sachant que le premier qui tire une boule verte sera déclaré vainqueur calculer la probabilité de chacun de gagner
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Probabilités
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soient les événements $V_i$ : "le joueur $i$ tire une boule verte" et $R_i$ : "le joueur $i$ tire une boule rouge", avec $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. L'urne contient initialement 6 boules (4 rouges, 2 vertes).
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Probabilité de gain du 1er joueur ($P_1$)
\[ P_1 = P(V_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] -
Probabilité de gain du 2ème joueur ($P_2$)
Le 1er joueur tire une rouge, le 2ème tire une verte :
\[ P_2 = P(R_1 \cap V_2) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \] -
Probabilité de gain du 3ème joueur ($P_3$)
Les deux premiers tirent une rouge, le 3ème tire une verte :
\[ P_3 = P(R_1 \cap R_2 \cap V_3) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} \] -
Probabilité de gain du 4ème joueur ($P_4$)
Les trois premiers tirent une rouge, le 4ème tire une verte :
\[ P_4 = P(R_1 \cap R_2 \cap R_3 \cap V_4) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{48}{360} = \frac{2}{15} \] -
Probabilité de gain du 5ème joueur ($P_5$)
Les quatre premiers tirent une rouge, le 5ème tire une verte :
\[ P_5 = P(R_1 \cap R_2 \cap R_3 \cap R_4 \cap V_5) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{48}{720} = \frac{1}{15} \]