- RĂ©soudre l'Ă©quation $~z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta).$
- En déduire l'implication : \[z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta)~\Longrightarrow~z^n+\dfrac{1}{z^n}~=~2\cos(n\theta)~,~~~\forall n\in\mathbb{N}.\]
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $\theta\in[0~;~\pi].$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- On reconnait immédiatement deux solutions de l'équation:
$$~~z+\dfrac{1}{z}=2\cos(\theta)~~$$
A savoir $~~~e^{i\theta}~~$ et $e^{-i\theta}$
Ses deux racines coĂŻncident lorsque $~\theta~$ est Ă©gale Ă $~0~$ ou Ă $~\pi~$ auxquels cas on a une racine double Ă savoir:- $~z=1~$ pour $~\theta=0$
- $z=-1~$ pour $~\theta=\pi$
- $z+\dfrac{1}{z}=2\cos(\theta)\Longrightarrow z=e^{\pm i\theta}$
Donc: $$~~z^n+\dfrac{1}{z^n}=e^{\pm in\theta}+e^{\mp in\theta}=e^{in\theta}+e^{-in\theta}$$ Soit: $$z^n+\dfrac{1}{z^n}=2\cos(n\theta)$$