Exercice N64 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Examen National Session de Rattrapage 2022 (Maroc):

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $Z_A=1+5i, Z_B=1-5i, Z_c=5-3i$

Déterminer le nombre complexe $Z_D$ affixe du point $D$ milieu du segment $[AC]$
Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\frac{1}{2}$.
Déterminer le nombre complexe $Z_E$ affixe du point $E$, l'image de $B$ par $h$
On considère la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $(-\frac{\pi}{2})$, déterminer l'image de $B$ par $R$
Soit $F$ le point d'affixe $Z_F=-1+i$
1. Vérifier que $\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times \frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}=-1$
2. En déduire que $\widehat{(AF,AD)}+\widehat{(ED,EF)}=\pi [2\pi]$
3. Déterminer la forme trigonométrique du nombre $\frac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}$ et déduire la nature du triangle $AEF$
4. Déduire que les points $A, D, E$ et $F$ appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre.

Examen National Session de Rattrapage 2022 (Maroc):

L'affixe $Z_D$ du point $D$ milieu du segment $ [AC] $ est donné par : \[ Z_D=\frac{Z_A+Z_C}{2}=\frac{(1+5i)+(5-3i)}{2} \] Soit : $Z_D=3+i$.
On a : \[ \begin{aligned} Z_E &= Z_A+\frac{1}{2}(Z_B - Z_A) \\ Z_E &= (1+5i)+\frac{1}{2}( (1-5i)-(1+5i) ) \end{aligned} \] Soit : $Z_E=1$.
L'image de $B$ par la rotation $R$ est donnée par : \[ \begin{aligned} R(Z_B) &= Z_C+e^{-i\frac{\pi}{2}}(Z_B - Z_C) \\ R(Z_B) &= (5-3i)-i((1-5i)-(5-3i)) \end{aligned} \] Soit : $R(Z_B)=3+i=Z_D$.
1. On a : \[ \begin{aligned} \left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) &= \left(\frac{(3+i)-(1+5i)}{(-1+i)-(1+5i)}\right)\left(\frac{(-1+i)-1}{(3+i)-1}\right) \\ \left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) &= \left(\frac{2-4i}{-2-4i}\right)\left(\frac{-2+i}{2+i}\right) \\ \left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) &= -\left(\frac{1-2i}{1+2i}\right)\left(\frac{-2+i}{2+i}\right) = -1 \end{aligned} \] Car : $1-2i=-i(2+i) \quad \text{et} \quad 1+2i=i(2-i)$.
  Par conséquent : \[ \left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right)=-1 \]
2. On sait que :
  - L'argument de $\left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)$ représente l'angle $\widehat{(AF,AD)}$.
  - L'argument de $\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right)$ représente l'angle $\widehat{(ED,EF)}$.
  - Par conséquent, l'argument du produit représente : $\widehat{(AF,AD)} + \widehat{(ED,EF)}$.
  Par la suite :
  $ \arg\left( \left(\frac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)\left(\frac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) \right)=\arg(-1)=\pi \pmod{2\pi} $
  On en déduit : \[ \widehat{(AF,AD)} + \widehat{(ED,EF)}=\pi \pmod{2\pi} \]
3. On a : \[ \frac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}=\frac{1-(-1+i)}{(1+5i)-(-1+i)}=\frac{2-i}{2+4i}=\frac{2-i}{2i(2-i)} \] Soit : $\frac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}=-\frac{1}{2}i$.
  Et donc : $\widehat{(FA,FE)}=-\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
  On en déduit que le triangle $ AEF $ est rectangle en $F$.
4. La question 4)a) montre que les points $A, D, E, F$ sont cocycliques.
  La question 4)c) montre que $ [AE] $ est le diamètre du cercle puisque le triangle $ AEF $ est rectangle en $F$.

Énoncé de l'exercice :

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