- Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation: $$~z^3 = 1$$
- montrer que les racines s'écrivent $~1$, $j$, $j^2$.
- Calculer $~~1+j+j^2~~$ et en déduire les racines de la quadratique: $$~~1+z+z^2 =0$$.
- Résoudre $z^n = 1$ et montrer que les racines s'écrivent: $$1,\epsilon,\ldots,\epsilon^{n-1}$$.
- En déduire les racines de l'équation: $$1+z+z^2+\cdots+z^{n-1} =0$$.
- Calculer, pour $~p \in \mathbb{N}$: $$1+\epsilon^p+\epsilon^{2p}+\cdots+\epsilon^{(n-1)p}$$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- L'équation $~z^3=1~$ admet comme racines:
$$e^{i\frac{k2\pi}{3}}\quad :k=0,1,2$$
En posant: $~~j=e^{i\frac{2\pi}{3}}~~$; ces racine peuvent être exprimés comme suit:
$$1,~j,~j^2$$
D'autre part: $$(j-1)(1+j+j^2)=j^3-1=0$$ Et puisque $j\neq 1$ alors on en déduit: $$1+j+j^2=0$$ On en déduit que $~j~$ est une racine de l'équation: $$z^2+z+1=0$$ Et puisque cette équation quadratique est à coefficients réels alors $~~\bar j~~$ est aussi une racine de cette équation.
Or: $$\bar{j}=\dfrac{1}{j}=j^2~$$ Donc les racines de cette équations sont $~j~$ et $~j^2~$
- l'équation $~~z^n=1~~$ admet $~n~$ racines: $~e^{i\frac{k2\pi}{n}}\quad :(k=0,1,\cdots,n-1)$
En posant: $~\epsilon=e^{i\frac{k2\pi}{n}}$ ces racines peuvent être écrite: $~1,\epsilon,\epsilon^2,\cdots,\epsilon^{n-1}~$.
L'équation: $z^n-1=0$ est équivalente à:
$(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$
Ce qui implique: $$(~z=1~) \qquad\text{ou}\qquad~~(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$$ On en déduits que les racines de: $$(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$$ sont : $$\epsilon,\epsilon^2,\cdots,\epsilon^p,\cdots,\epsilon^{n-1}$$ - Puisque $\epsilon^p$ est une racine de de l'équation: $$~~(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$$ Alors: $$1+(\epsilon^p)+(\epsilon^p)^2\cdots+(\epsilon^p)^{n-1}=0$$ Ce qui signifie: $$1+\epsilon^p+\epsilon^{2p}\cdots+\epsilon^{(n-1)p}=0$$