Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
RĂ©soudre dans $~~\mathbb{C}~~$ l'Ă©quation:
$$~~z^2=~\overline{z}$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit à résoudre:
$$z^2=\bar{z}\qquad (*)$$
Par passage aux modules on obtient:
$$|z|^2=|\bar{z}|=|z|$$
Et donc:
$$|z|^2- |z|=|z|(|z|-1)=0$$
On en déduit:
$$(~|z|=0~) \qquad\textit{ou}\qquad(~|z|=1~)~$$
- $|z|=0~~\Longleftrightarrow~~z=0$
- $|z|=1~~\Longrightarrow~\bar z=\dfrac{1}{z}$
L'équation $~(*)~$ devient dans ce dernier cas: $$\quad z^2=\dfrac{1}{z}$$ On en déduit: $$\quad z^3=1$$ Et donc: $$z=1,~j,~j^2$$ Et on vérifie bien que: $$z^3=1 ~ \Longrightarrow ~ z^2=\dfrac{1}{z}=\bar{z}$$ En conclusion l'ensemble des solution est: $$ S=\{0,1,j,j^2\} $$
- $|z|=1~~\Longrightarrow~\bar z=\dfrac{1}{z}$
L'équation $~(*)~$ devient dans ce dernier cas: $$\quad z^2=\dfrac{1}{z}$$ On en déduit: $$\quad z^3=1$$ Et donc: $$z=1,~j,~j^2$$ Et on vérifie bien que: $$z^3=1 ~ \Longrightarrow ~ z^2=\dfrac{1}{z}=\bar{z}$$ En conclusion l'ensemble des solution est: $$ S=\{0,1,j,j^2\} $$