- $$z^6=1$$
- $$\left(z-1\right)^6+\left(z-1\right)^3+1=0$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit l'équation:
$$z^6=1~~$$
Les solutions de cette équation sont les racines sixièmes de l'unité:
$$z_k=e^{i\frac{k2\pi}{6}}\quad: (k=0,1,\cdots,5)$$ Soit l'équation:
$$(z-1)^6+(z-1)^3+1=0$$
Posons: $s=(z-1)$.
On obtient alors:
$$s^6+s^3+1=0\qquad (*)$$ En multipliant cette dernière par $~(s^3-1)~$ on obtient:br> $$(s^3-1)(s^6+s^3+1)=s^9-1$$ Les racine de l'équation $(*)$ sont les racines neuvièmes de l'unité, desquels on exclue les racine de $~~(s^3-1=0)~~$ (qui sont les racine cubiques de l'unité i.e $(~1,j,j^2~)~$)
Si on pose: $w=e^{i\frac{2\pi}{9}}$ alors:
Les racine de l'équation $(*)$ sont:
$$w,w^2,w^4,w^5,w^7,w^8$$ (Remarquez que l'on exclu les racine cubiques de l'unité à savoir $~~(~1,w^3,w^6~)~~$)
Les racines de l'équation $ii)$ s'en déduisent comme suit:
$$1+w,~~1+w^2,~~1+w^4,~~1+w^5,~~1+w^7,~~1+w^8$$
$$z_k=e^{i\frac{k2\pi}{6}}\quad: (k=0,1,\cdots,5)$$
On obtient alors:
$$s^6+s^3+1=0\qquad (*)$$ En multipliant cette dernière par $~(s^3-1)~$ on obtient:br> $$(s^3-1)(s^6+s^3+1)=s^9-1$$ Les racine de l'équation $(*)$ sont les racines neuvièmes de l'unité, desquels on exclue les racine de $~~(s^3-1=0)~~$ (qui sont les racine cubiques de l'unité i.e $(~1,j,j^2~)~$)
Si on pose: $w=e^{i\frac{2\pi}{9}}$ alors:
Les racine de l'équation $(*)$ sont:
$$w,w^2,w^4,w^5,w^7,w^8$$ (Remarquez que l'on exclu les racine cubiques de l'unité à savoir $~~(~1,w^3,w^6~)~~$)
Les racines de l'équation $ii)$ s'en déduisent comme suit:
$$1+w,~~1+w^2,~~1+w^4,~~1+w^5,~~1+w^7,~~1+w^8$$