- Montrer l'équivalence \[~\left|z+1\right|=\left|z\right|+1~\Longleftrightarrow ~z\in\mathbb{R}^+\]
- En déduire que \[~\left|z+z'\right|=\left|z\right|+\left|z'\right|~\Longleftrightarrow ~\exists\lambda\in\mathbb{R}^+~/~ z=\lambda z'\]
- Soit $n$ un entier naturel non nul et $~z_1,~z_2,~\cdots z_n~$ des nombres complexes non nuls. Montrer par récurrence que les 2 propositions suivantes sont équivalentes:
- $\left|z_1+z_2+\cdots +z_n\right|=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\cdots +\left|z_n\right|$
- $~\exists\left(\lambda_1~;~\lambda_1~;~\cdots ; \lambda_n\right)\in\left(\mathbb{R}^+\right)^n~/~ z_i=\lambda_i z_1~~\forall 1\leqslant i\leqslant n.$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soient $~z~$ et $~z'~$ deux nombres complexes non nuls.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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La démonstration de cette équivalence se fera en deux étapes:
- $\Longrightarrow)~~$ on a: $$|z+1|=|z|+1$$ En prenant les carrés on trouve: $$(z+1)(\bar{z}+1)=(|z|+1)^2$$ En développant on obtient: $$z\bar z+(z+\bar z)+1=|z|^2+2|z|+1$$ En simplifiant on trouve: $$x=\Re(z)=|z|\geq 0\quad (1)$$ En posant: $z=x+iy$ et tenant compte de (1) on déduit: $$x=\sqrt{x^2+y^2}\Longrightarrow y=0$$ Et donc: $$z=x\geq 0$$
- Inversement, si on a: $~~z\in \mathbb R^+~~$ alors: $$z+1>0$$ Et donc: $$|z+1|=z+1=|z|+1$$
- Posons: $~~\lambda=\dfrac{z}{z'}\qquad (~\lambda~~ \text{est à priori dans}~~\mathbb C~)$ :
Alors: $$|z+z'|=|z|+|z'| \Longleftrightarrow |\lambda+1|=|\lambda|+1\Longleftrightarrow \lambda\in\mathbb{R}^+$$ Ce équivaut à: $$~~z=\lambda z'\qquad avec: \qquad\lambda\in \mathbb R^+$$ Conclusion: $$|z+z'|=|z|+|z'| \Longleftrightarrow z=\lambda z' ~~\text{(pour un certain)}~~\lambda\in\mathbb R^+$$ - Le cas général se déduit par récurrence.
En effet:
La propriété est vrai pour $n=2$ (question précédente).
Si on suppose que la propriété est vrai à l'ordre n-1 alors:
Soit alors $~~z_1,z_2,\cdots z_n~~$ des nombres complexes non nuls tels que: $$|z_1+z_2+\cdots z_n|=|z_1|+|z_2|+\cdots |z_{n}|$$ Posons: $$\begin{cases} A=|z_1|+|z_2|+\cdots |z_{n}| \\ B=|z_1+z_2+\cdots +z_{n-1}|+|z_n| \\ C= |z_1+z_2+\cdots z_n| \end{cases}$$ En général on a: $$\quad C\leq B\leq A$$ Mais puisque par hypothèse on a: $~A=C~$ alors:
On doit avoir: $$\quad A=B=C$$ Or: $$A=B\Longrightarrow |z_1+z_2+\cdots +z_{n-1}|=|z_1|+|z_2|+\cdots |z_{n-1}|$$ En utilisant l'hypothèse de récurrence on en déduit l'existence de nombres $(\lambda_k\in\mathbb{R}_+):$
$k=2,\cdots,n-1~~$ tels que: $$z_k=\lambda_kz_1$$ En outre on a: $$|(z_1+z_2+\cdots +z_{n-1})+z_n|=|z_1+z_2+\cdots +z_{n-1}|+|z_n|$$ Ce qui implique l'existence de $\lambda\in\mathbb{R}_+$ tel que: $$z_n=\lambda (z_1+z_2+\cdots +z_{n-1})=\lambda(1+\lambda_2+\cdots \lambda_{n-1})z_1=\lambda_nz_1$$ Avec: $$\lambda_n=\lambda(1+\lambda_2+\cdots \lambda_{n-1})\geq 0$$ On en déduit que la propriété est aussi vraie pour n. Ceci termine la preuve.