- Montrer que si un réel $a$ est solution de $f(x)=x$, alors $g(a)$ est aussi solution de cette équation.
- Montrer qu'il existe un réel $\alpha \in [0, 1]$ tel que $f(\alpha) = g(\alpha)$.
N.B: Cet exercice est prĂ©sente un lien avec : Lire celui lĂ
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Limites et Continuité
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- 1. Image d'un point fixe :
Soit $a \in [0, 1]$ tel que $f(a)=a$.
Alors $f(g(a)) = (f \circ g)(a) = (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(a)$.
Donc $g(a)$ est un point fixe de $f$.
- Soit $S = \{x \in [0, 1] \mid f(x)=x\}$.
$S$ est un fermé borné non vide. - Soient $~m = \min S~$ et $~M = \max S$.
On a $~f(m)=m~$ et $~f(M)=M$. - Comme $~g(S) \subset S~$, alors $~g(m) \in S~$ et $~g(M) \in S~$.
- Par définition des bornes de $S$ : $g(m) \ge m$ et $g(M) \le M$.
- Soit $~h(x) = g(x) - f(x)$.
- $h(m) = g(m) - m \ge 0$.
- $h(M) = g(M) - M \le 0$.
- Par continuité de $h$ sur $[m, M]$, il existe $\alpha \in [m, M]$ tel que $h(\alpha)=0$.
- D'oĂč $f(\alpha) = g(\alpha)$.