Théorème des cordes horizontales

• Posons $g(x) = f\left(x + \frac{1}{n}\right) - f(x)$ sur $[0, 1 - \frac{1}{n}]$.


• 1. Calcul de la somme :
  
  $\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=0}^{n-1} [f(\frac{k+1}{n}) - f(\frac{k}{n})] = f(1) - f(0) = 0$.


• 2. Conclusion par l'absurde :
  
  Si $g$ ne s'annule pas, alors par continuité elle garde un signe constant sur son intervalle.
  Si $(\forall x), g(x) > 0$ (resp. $< 0$), alors la somme $\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)$ serait strictement positive (resp. négative).
  Ceci est impossible car la somme est nulle.
  Il existe donc $c \in [0, 1 - \frac{1}{n}]$ tel que $g(c) = 0$.