- Montrer par récurrence que $~(\forall n \in \mathbb{N})~$ et $~(\forall x \in \mathbb{R})$ : \[ f\left(\frac{x}{2^n}\right)=f(x) \]
- En déduire que $f$ est une fonction constante.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Limites et Continuité
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \]
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- 1. RĂ©currence :
- Initialisation ($n=0$) : $f(x/1) = f(x)$ est immédiat.
- Hérédité : Supposons $f(x/2^n) = f(x)$.
- Par hypothĂšse, $f(y) = f(2y)$ pour tout $y$.
Posons: $~y = x/2^{n+1}$, on a : \[ f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) = f\left(2 \cdot \frac{x}{2^{n+1}}\right) = f\left(\frac{x}{2^n}\right) \] - Par hypothÚse de récurrence, $f(x/2^n) = f(x)$
Par la suite: $~f(x/2^{n+1}) = f(x)$.
- 2. Passage Ă la limite :
- On a $f(x) = f(x/2^n)$ pour tout $n$.
- Puisque $f$ est continue en $0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{x}{2^n} = 0$, alors : \[ f(x) = \lim_{n \to +\infty} f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(0) \]
- $f(x) = f(0)$ pour tout $x$, donc $f$ est constante.