Exercice LC10

Exercice Publié par admin le 19 janvier 2026
Bac Sciences MathĂ©matiques & LycĂ©e Limites et ContinuitĂ© ÉnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

ÉnoncĂ© de l'exercice :

Soit $f$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \sqrt{x - E(x)} - x\\ \end{align*} \]
Questions :
  1. Déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$.

  2. RĂ©soudre dans $\mathbb{R}$ l'Ă©quation $f(x) = 0$.

  3. Soit $n\in\Bbb Z$.
    • a) Étudier la continuitĂ© de $f$ en $n$.
    • b) Étudier la continuitĂ© de $f$ sur $]n, n+1[$.

  4. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad -x \leq f(x) \leq 1 - x$.
  5. En déduire $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
  • 1. Domaine de dĂ©finition :
    Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x - E(x) \ge 0$, donc $D_f = \mathbb{R}$.

    • RĂ©solution de $f(x)=0$
    • L'Ă©quation est $\sqrt{x - E(x)} = x$. Elle impose $x \geq 0$.
    • Posons $x = E(x) + \epsilon$ avec $\epsilon \in [0, 1[$.
    • L'Ă©quation devient $\sqrt{\epsilon} = x$, d'oĂč $\epsilon = x^2$.
    • Puisque $\epsilon < 1$, on a $x^2 < 1$, donc $x \in [0, 1[$.
    • Pour $x \in [0, 1[$, $E(x) = 0$, donc $x = \epsilon$.
    • L'Ă©quation devient $x = x^2 \iff x(1-x) = 0$.
    • Seule la valeur $x=0$ appartient Ă  l'intervalle $[0, 1[$.
    • $S = \{0\}$.

  • 3. ContinuitĂ© :
    1. En $n \in \mathbb{Z}$ :
      $\lim_{x \to n^+} f(x) = -n = f(n)$.
      $\lim_{x \to n^-} f(x) = \sqrt{1} - n = 1 - n$.
      $f$ est continue Ă  droite mais pas Ă  gauche en $n$.
    2. Sur $]n, n+1[$ :
      $f(x) = \sqrt{x - n} - x$, qui est continue.
  • 4. Encadrement :
    Comme $0 \le x - E(x) < 1$, alors $0 \le \sqrt{x - E(x)} < 1$.
    D'oĂč $-x \le f(x) < 1 - x$.
  • 5. Limites :
    Par comparaison avec l'encadrement :
    $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
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