- Montrer qu' il existe un réel $~c\in ] a, b[~$ tel que: $$\alpha f(a) +\beta f(b)=f(c)$$
- En déduire que pour tout réels $~p,q~$ strictement positifs, il existe $~c\in ] a, b[~$ tel que: $$pf(a) +qf(b)=(p+q)f(c)$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Limites et Continuité
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $f$ une fonction continue sur $~[a , b]$; et soit $~~\alpha ,\beta~~$ 2 deux réels strictement posistifs tels que:
$$\alpha+\beta =1$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Question 1 :
- Supposons, sans perte de généralité, que $f(a) \le f(b)$.
- Comme $\alpha + \beta = 1$ avec $\alpha, \beta > 0$, alors $f(a) \le \alpha f(a) + \beta f(b) \le f(b)$.
- En effet : $\alpha f(a) + \beta f(b) - f(a) = \beta(f(b) - f(a)) \ge 0$.
- La fonction $f$ est continue sur $[a, b]$.
- D'aprÚs le ThéorÚme des Valeurs Intermédiaires, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \alpha f(a) + \beta f(b)$.
- Question 2 :
- L'égalité $pf(a) + qf(b) = (p+q)f(c)$ équivaut à $\frac{p}{p+q}f(a) + \frac{q}{p+q}f(b) = f(c)$.
- Posons $\alpha = \frac{p}{p+q}$ et $\beta = \frac{q}{p+q}$.
- On a bien $\alpha > 0$, $\beta > 0$ et $\alpha + \beta = 1$.
- D'aprÚs le résultat de la question 1, l'existence de $c$ est démontrée.