- Justifier que $f$ est dérivable en $0$.
- En déduire une approximation affine de l'expression $\sqrt[3]{x+8}$ au voisinage de $0$.
- Déterminer une valeur approchée des nombres : $\sqrt[3]{8,004}$ et $\sqrt[3]{7,9995}$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
DĂ©rivation et Ă©tude de fonctions
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[ \begin{align*}
f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\
& x \longmapsto \sqrt[3]{x+8} \\
\end{align*} \]
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Exercice : Approximation affine
-
Justification de la dérivabilité
La fonction $f$ est la composée des fonctions suivante:
$(x \longmapsto x+8)$ et puis de la fonction: $~x\longmapsto \sqrt[3]{x}$.
Comme $~(x+8)~$ est dérivable en $0$ et ne s'y annule pas, alors $~f~$ est dérivable en $0$.
On a: $~f(0)=2$ et : \begin{align*} f' : & \mathbb{R} \setminus \{-8\} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+8)^2}} \\ \end{align*} D'oĂč $f'(0) = \frac{1}{12}$. -
Approximation affine
Au voisinage de $0$, on utilise la formule $f(x) \approx f(0) + xf'(0)$. On obtient : \[ \sqrt[3]{x+8} \approx 2 + \frac{x}{12} \] -
Valeurs approchées
- Pour $\sqrt[3]{8,004}$, on prend $x=0,004$ : $\sqrt[3]{8,004} \approx 2 + \frac{0,004}{12} \approx 2,000333$.
- Pour $\sqrt[3]{7,9995}$, on prend $x=-0,0005$ : $\sqrt[3]{7,9995} \approx 2 - \frac{0,0005}{12} \approx 1,999958$.