Exercice D18 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Exercice D18

Exercice Publié par admin le 21 janvier 2026

Bac Sciences Mathématiques & Lycée Dérivation et étude de fonctions Énoncé avec corrigé détaillé

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

Énoncé de l'exercice :

On pose: $$f(x)=(1+x)^7 \qquad g(x)=(1+x)^{-7}$$

Donner les expressions de la dérivée de $f$ et de $g$.
En déduire des approximation afines des nombres, $~1.001^7~$ et $~1,001^{-7}$.
Comparer ces résultats avec ceux obtenus par une calulatrice.

On considère maintenant la fonction: $$h(x)=\sqrt{1+x}$$

En utilisant une la notion de dérivée approximer $~\sqrt{70}~$ en écrivant $~(70=64+6)$
Faire de même, mais cette fois ci en écrivant $~(70=81-11$$
En comparant avec une calculatrice; quelle méthode parmi les deux donne la bonne approximation? Interpréter

Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet

Approximation de $(1+x)^n$
1. $f'(x) = 7(1+x)^6$ et $g'(x) = -7(1+x)^{-8}$.
2. Au voisinage de $0$, $(1+x)^n \approx 1 + nx$.
  - $1,001^7 \approx 1 + 7(0,001) = 1,007$
  - $1,001^{-7} \approx 1 - 7(0,001) = 0,993$
Approximation de $\sqrt{70}$
1. En $64+6$ : $\sqrt{70} = \sqrt{64+6}=8\sqrt{1+\frac{6}{64}} \approx 8(1+\frac{3}{64}) = 8,375$.
2. En $81-11$ : $\sqrt{70} =\sqrt{81-11}= 9\sqrt{1-\frac{11}{81}} \approx 9(1-\frac{11}{162}) \approx 8,389$.
3. La valeur réelle est $\approx 8,367$.
  La première méthode est la meilleure car l'écart relatif ($6/64$) est plus faible que dans la seconde ($11/81$).