On considère la fonction $g$ définie sur $~\Bbb R~$ par: $$g(x)=x^2e^x$$
Approche par la formule de Leibnitz:
- Calculer $g^{'}(x)$ et $g^{''}(x)$
- En utilisant la formule de Leibnitz calcuer $~g^{(n)}(x)~$ (la nième dérivée de $~g~$)
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Dérivation et étude de fonctions
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
On considère la fonction $g$ définie sur $~\Bbb R~$ par: $$g(x)=x^2e^x$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Calcul des dérivées premières et secondes
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[g'(x) = (x^2 + 2x)e^x\] \[g''(x) = (x^2 + 4x + 2)e^x\] - Calcul de la dérivée nième:
- Mehtode 1: Formule de Leibnitz:
Posons $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$. D'après la formule de dérivation de la composée (produit d'ordre $n$) : \[g^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)\] \[g^{(n)}(x) = \left[ \binom{n}{0}x^2 + \binom{n}{1}(2x) + \binom{n}{2}(2) \right] e^x\] \[g^{(n)}(x) = \left( x^2 + 2nx + n(n-1) \right)e^x\] - Méthode 2: Par récurrence:
En dérivant $g^{(n)}$, on trouve : \[g^{(n+1)}(x) = \left[ a_n x^2 + (2a_n + b_n)x + (b_n + c_n) \right]e^x\] D'où les relations :- $a_{n+1} = a_n$
- $b_{n+1} = b_n + 2a_n$
- $c_{n+1} = c_n + b_n$
- $a_n = 1$
- $b_n = 2n$
- $c_n = n(n-1)$
- Mehtode 1: Formule de Leibnitz: