- Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et deux fois dérivable sur $]a, b[$.
- On suppose que :
\[ f(a) = f(b) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in ]a, b[, f''(x) \neq 0 \] - Montrer que :
\[ \forall x \in ]a, b[, f(x) \neq 0 \]
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Dérivation et étude de fonctions
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = 0$.
- Puisque $f(a)=f(x_0)=f(b)=0$, le théorème de Rolle assure l'existence de deux points $c_1 \in ]a, x_0[$ et $c_2 \in ]x_0, b[$ tels que $f'(c_1)=0$ et $f'(c_2)=0$.
- En appliquant à nouveau le théorème de Rolle à la fonction $f'$ sur $[c_1, c_2]$, il existe $d \in ]c_1, c_2[$ tel que $f''(d) = 0$.
- Ceci contredit l'hypothèse $\forall x \in ]a, b[, f''(x) \neq 0$.
Conclusion : La fonction $f$ ne s'annule jamais sur $]a, b[$.